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ARITHMÉTIQUES.

qui donne

$R=$	$x^{8}$	$+4x^{6}$	$+6x^{4}$	$+4x^{2}$	$+1$ ,
$S=$	$-x^{7}$	$+x^{6}$	$-4x^{5}$	$+3x^{4}$	$-4x^{3}$	$+x^{2}$	$-x$ ,
$T=$	$2x^{6}$	$-3x^{5}$	$+5x^{4}$	$-3x^{3}$	$+2x^{2}\,;$

et partant,

$n$ ——	$Y$	$Z$
$17$ ……	—— $2x^{8}+x^{7}+5x^{6}+7x^{5}$ $+4x^{4}+7x^{3}+5x^{2}$ $+x+2$ .	—— $x^{7}+x^{6}+x^{5}$ $+2x^{4}+x^{3}$ $+x^{2}+x$ .

Voici encore d’autres exemples :

$n$ ——	$Y$	$Z$
$3$ ……	—— $2x+1$	—— $1$ .
$5$ ……	—— $2x^{2}+x+2$	—— $x$ .
$7$ ……	—— $2x^{3}+x^{2}-x-2$	—— $x^{2}+x$ .
$11$ ……	—— $2x^{5}+x^{4}-2x^{3}+2x^{2}$ $-x-2$	—— $x^{4}+x$ .
$13$ ……	—— $2x^{6}+x^{5}+4x^{4}-x^{3}$ $+4x^{2}+x+2$	—— $x^{5}+x^{3}+x$ .
$19$ ……	—— $2x^{9}+x^{8}-4x^{7}+3x^{6}$ $+5x^{5}-5x^{4}-3x^{3}+4x^{2}$ $-x-2$	—— $x^{8}-x^{6}+x^{5}+x^{4}$ $-x^{3}+x$ .
$23$ ……	—— $2x^{11}+x^{10}-5x^{9}-8x^{8}$ $-7x^{7}-4x^{6}+4x^{5}+7x^{4}$ $+8x^{3}+5x^{2}-x-2$ .	—— $x^{10}+x^{9}-x^{7}-2x^{6}$ $-2x^{5}-x^{4}+x^{2}+x$ .

358. Passons à la considération des équations du troisième degré qui, dans le cas où $n$ est de la forme $3k+1$ , donne les trois périodes de ${\frac {n-1}{3}}$ termes dont $\Omega$ est composé. Soit $g$ une racine primitive quelconque pour le module $n$ , et ${\frac {n-1}{3}}=m$ qui sera un nombre pair ; les trois périodes qui composent $\Omega$ seront $(m,1)$ , $(m,g)$ , $(m,g^{2})$ que nous désignerons par $p$ , $p'$ , $p''$ , et qui contiennent respectivement les racines