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RECHERCHES

$(m,1+1)+(m,\alpha +1)+(m,\beta +1)+(m,\gamma +1)+$ etc.

Parmi les différens termes de cette expression, on trouvera $(m,n)$ qui se ramène à $(m,0)=m$ ; le reste se réduira évidemment à

$(KK)p+(KK')p'+(KK'')p'',$

d’où l’on tire………$p^{2}=m+(a-1)p+bp'+cp''.$

Ainsi, par les réductions précédentes, nous avons trouvé les quatre équations

$p^{2}=$	$m+(a-1)p+bp'+cp''$,
$pp'=$	$bp+cp'+ap''$,
$pp''=$	$cp+ap'+bp''$,
$p'p''=$	$ap+bp'+cp''$,

où les trois inconnues $a$, $b$, $c$ sont liées par la relation

$a+b+c=m$……… (I)

et sont certainement des nombres entiers. On tire de là

$C$	$=p\times p'p''=ap^{2}+bpp'+cpp''$	$=am+$	$(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a)p$
		$+$	$(ab+bc+ac)p'$
		$+$	$(ab+bc+ac)p''$

Mais comme $pp'p''$ est une fonction invariable de $p$, $p'$, $p''$, les coefficiens de ces trois périodes doivent être les mêmes (n^o 350), ce qui donne une nouvelle équation

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-a=ab+ac+bc$………(II)

et partant

$C=am+(ab+ac+bc)(p+p'+p'')=a^{2}-bc$………(III)

à cause de l’équation (I), et de l’équation $p+p'+p''=-1.$

Quoique $C$ dépende de trois inconnues qui ne sont liées que par deux équations, la condition qui exige que $a$, $b$, $c$ soient des entiers, suffit pour les déterminer. Afin de le prouver, nous mettrons l’équation (II) sous la forme

$12a+12b+12c+4=$		$36a^{2}$	$+36b^{2}$	$+36c^{2}$
	$-$	$36ab$	$-36ac$	$-36bc$
	$-$	$24a$	$+12b$	$+12c+4$,

qui devient

$4n=(6a-3b-3c-2)^{2}+27(b-c)^{2},$