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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/492

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RECHERCHES
etc.


Parmi les différens termes de cette expression, on trouvera qui se ramène à  ; le reste se réduira évidemment à


d’où l’on tire………

Ainsi, par les réductions précédentes, nous avons trouvé les quatre équations

,
,
,
,


où les trois inconnues , , sont liées par la relation

……… (I)


et sont certainement des nombres entiers. On tire de là


Mais comme est une fonction invariable de , , , les coefficiens de ces trois périodes doivent être les mêmes (no 350), ce qui donne une nouvelle équation

………(II)


et partant

………(III)


à cause de l’équation (I), et de l’équation

Quoique dépende de trois inconnues qui ne sont liées que par deux équations, la condition qui exige que , , soient des entiers, suffit pour les déterminer. Afin de le prouver, nous mettrons l’équation (II) sous la forme

,


qui devient