à cause de ; ou, en faisant
,
Il suit de là que le nombre , c’est-à-dire le quadruple de tout nombre premier de la forme , peut être représenté par la forme ; et quoique ce résultat puisse se tirer sans difficulté de la théorie générale des formes binaires, il n’en est pas moins étonnant qu’une telle décomposition soit liée si intimement avec les nombres , , . Or nous démontrerons, comme il suit, que le nombre ne peut être décomposé que d’une seule manière en un quarré et le produit d’un autre quarré par [1]. Si l’on supposait
on en tirerait
| 1o…… | |||
| 2o…… | |||
| 3o…… |
La troisième équation prouve que , qui est un nombre premier, divise l’un des deux nombres , ; mais la première et la seconde font voir que chacun de ces nombres est plus petit que ; donc celui que divise est nécessairement nul, ce qui
donne , ou et , c’est-à-dire que les deux décompositions sont les mêmes. Si donc nous supposons connue la décomposition du nombre en un quarré, et le produit d’un autre quarré par , décomposition que l’on peut trouver
soit par la méthode directe de la Section V, soit par la méthode
indirecte des nos 323, 324 ; si, par exemple, on a , les quarrés , seront déterminés, et on aura deux équations au lieu de l’équation II. On voit clairement, non-seulement que
le quarré est déterminé, mais que la racine l’est aussi ; en effet, devant être un nombre entier, on devra prendre ou , suivant que sera de la forme
- ↑ Cette proposition peut être démontrée plus directement par les principes de la Section V.
