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RECHERCHES

l’exemple du n^o 354, la racine $[1]$ répond évidemment à langle ${\frac {1}{17}}P$ , la racine $[2]$ à l’angle ${\frac {2}{17}}P$ , etc. Ainsi de cette manière les sinus et cosinus des angles ${\frac {P}{n}}$ , ${\frac {2P}{n}}$ , etc. sont entièrement déterminés.

362. Quant à ce qui regarde les autres fonctions trigonométriques de ces angles, on pourrait les tirer des valeurs des sinus et cosinus, par les méthodes connues, savoir, les sécantes et les tangentes en divisant respectivement l’unité ou les sinus par les cosinus, et les cosécantes et les cotangentes, en divisant le rayon ou les cosinus par les sinus. Mais le plus souvent il sera plus commode d’employer les formules suivantes, qui n’exigent que de simples additions.

Soit $\omega$ un quelconque des angles ${\frac {P}{n}}$ , ${\frac {2P}{n}}$ ,… ${\frac {(n-1)P}{n}}$ , et $\cos \omega +i\sin \omega =R$ ; $R$ sera une des racines $\Omega$ , et l’on aura

$\cos \omega$	$={\frac {1}{2}}\left(R+{\frac {1}{R}}\right)$	$={\frac {1+R^{2}}{2R}},$
$\sin \omega$	$={\frac {1}{2i}}\left(R-{\frac {1}{R}}\right)$	$={\frac {i(1-R^{2})}{2R}},$

et partant

$\operatorname {sec} \omega$	$={\frac {2R}{1+R^{2}}}$ ,	——	$\tan \omega$	$={\frac {i(1-R^{2})}{1+R^{2}}},$
$\csc \omega$	$={\frac {2Ri}{R^{2}-1}}$ ,		$\cot \omega$	$={\frac {i(R^{2}+1)}{R^{2}-1}},$

Nous allons donner le moyen de transformer les numérateurs de ces quatre fractions, de manière à les rendre divisibles par les dénominateurs.

1^o. Comme on a $R=R^{n+1}=R^{2n+1}$ , il en résulte $2R=R+R^{2n+1}$ , expression qui est divisible par $1+R^{2}$ , puisque $n$ est un nombre impair ; donc

\operatorname {sec} \omega =R-R^{3}+R^{5}-R^{7}+\dots +R^{2n-1}\,;

et partant, puisqu’on a $\sin \omega =-\sin(2n-1)\omega$ , $\sin 3\omega =-\sin(2n-3)\omega$ , etc., et parconséquent $\sin \omega -\sin 3\omega +\sin 5\omega \dots +\sin(2n-1)\omega =0$ ,