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ARITHMÉTIQUES.

de la forme $4n+1$ ou $4n+3$. Cette formule peut évidemment se présenter comme il suit :

$\sec \omega =\pm \left\{1-2\cos 2\omega +2\cos 4\omega ....\pm 2\cos(n-1)\omega \right\}.$

2^o. Substituant de même $1-R^{n+2}$ pour $1-R^{2}$, on trouve

$\operatorname {tang} \omega =i(1-R^{2}+R^{4}-R^{6}....-R^{2n}),$

ou, comme $1-R^{2n}=0$, $R^{2}-R^{2n+2}=2i\,\sin 2\omega$, $R^{4}-R^{2n-4}=2i\,\sin 4\omega$, etc.

$\operatorname {tang} \omega =2\left\{\sin 2\omega -\sin 4\omega +\sin 6\omega ....\mp 2\sin(n-1)\omega \right\}.$

3^o. Comme on a

$1+R+R^{2}+R^{4}.....+R^{2n+2}=0,$

on en tire

$n$	$=n-1-R^{2}-R^{4}....-R^{2n+2}$
	$=(1-R^{2})+(1-R^{4})....+(1-R^{2n+2}),$

expression dont les différentes parties sont divisibles par $1-R^{2}$, d’où il résulte

${\frac {n}{1-R^{2}}}$	$=1+(1+R^{2})+(1+R^{2}+R^{4})....$
	$....+(1+R^{2}+R^{4}....R^{2n-4})$
	$=n-1+(n-2)R^{2}+(n-3)R^{4}....+R^{2n-4}\,;$

si l’on multiplie par $2$, que l’on retranche le produit

$(n-1)(1+R^{2}+R^{4}....+R^{2n-2})=0,$

et que l’on multiplie de nouveau par $R$, on a

${\frac {2nR}{1-R^{2}}}$	$=(n-1)R+(n-3)R^{3}+(n-5)R^{5}....$
	$...-(n-3)R^{2n-3}-(n-1)R^{2n-1},$

d’où résulte sur-le-champ,

$\operatorname {cosec} \omega =$	${\frac {1}{n}}\{(n-1)\sin \omega +(n-3)\sin 3\omega$… …$-(n-1)\sin(2n-1)\omega \}$
$=$	${\frac {2}{n}}\{(n-1)\sin \omega +(n-3)\sin 3\omega$ $-$ etc. $+2\sin(n-2)\omega \},$

formule qui peut encore se présenter ainsi

$\operatorname {cosec} \omega =$	$-{\frac {2}{n}}\{2\sin 2\omega +4\sin 4\omega +6\sin 6\omega$…
	$+(n-1)\sin(n-1)\omega \}$

4^o. En multipliant par $1+R^{2}$ la valeur de ${\frac {n}{1-R^{2}}}$ que nous avons donnée plus haut, et en retranchant le produit

$(n-1)(1+R^{2}+R^{4}+....R^{2n-2})=0.$

P p p