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RECHERCHES

il vient

${\frac {n(1+R^{2})}{1-R^{2}}}$	$=(n-2)R^{2}+(n-4)R^{4}+(n-6)R^{6}$
	…$-(n-2)R^{2n-2},$

d’où

$\cot \omega =$	${\frac {1}{n}}\{(n-2)\sin 2\omega +(n-4)\sin 4\omega +(n-6)\sin 6\omega$ ——————————————…$-(n-2)\sin(2n-2\omega )\}$
$=$	${\frac {2}{n}}\{(n-2)\sin 2\omega +(n-4)\sin 4\omega$ ——————————…$+3\sin(n-3)\omega +\sin(n-1)\omega \}$,

formule qui peut encore se présenter ainsi qu’il suit :

$\cot \omega =-{\frac {1}{n}}\{\sin \omega +3\sin 3\omega +...(n-2)\sin(n-2)\omega \}.$

363. De même qu’en supposant $n-1=ef$, la fonction $X$ peut être décomposée en $e$ facteurs de degré $f$, aussitôt que l’on connaît les valeurs des $e$ périodes de $f$ termes (n^o 348), si nous supposons maintenant que $Z=0$ soit une équation du degré $n-1$ dont les racines soient les sinus, ou toute autre fonction trigonométrique des angles ${\frac {P}{n}},\,{\frac {2P}{n}},\,\dots {\frac {(n-1)P}{n}}$, la fonction $Z$ pourra se décomposer en $c$ facteurs de degré $f$.

Soient $p=(f,1)$, $p'$, $p''$, etc. les périodes de $f$ termes dont $\Omega$ est composé, et que $p$, $p'$, $p''$, etc. contiennent respectivement, les racines

$[1],[a],[b],[c]$, etc. ——$[a'],[b'],[c']$, etc. ——$[a''],[b''],[c'']$, etc. ;

supposons encore que l’angle $\omega$ réponde à la racine $[1]$, et partant les angles

$a\omega ,b\omega ,$, etc.——$a'\omega ,b'\omega ,$, etc.——$a''\omega ,b''\omega$, etc.,

aux racines

$[a],[b],[c]$, etc. ——$[a'],[b'],$, etc. ——$[a''],[b'']$, etc. ;

On verra facilement que ces angles pris ensemble coïncident^[1], quant à leurs fonctions trigonométriques, avec les angles

${\frac {P}{n}},\,{\frac {2P}{n}},\,{\frac {3P}{n}},.....{\frac {(n-1)P}{n}}\,;$

1. Deux angles coïncident sous ce point de vue, quand leur différence est égale à la circonférence ou à un de ses multiples, c’est-à-dire, lorsqu’ils sont congrus suivant la circonférence, si nous voulons prendre l’expression de congruence dans un sens plus étendu.