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ARITHMÉTIQUES.
si donc la fonction dont il s’agit est désignée par le signe
placé devant l’angle, et que l’on fasse
![{\displaystyle (x-\varphi \omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a212d86a0074ede2040d519defe4c8534a772ab9) |
![{\displaystyle (x-\varphi a\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93badeeebc3239e5f3a73a6265de88d9569645fb) |
etc. |
|
![{\displaystyle (x-\varphi a'\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ea21ee0920a90d15e6a850c12f80746073c982) |
![{\displaystyle (x-\varphi b'\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/995ec1689b842886ac00de531d59e3b816695e0e) |
etc. |
|
![{\displaystyle (x-\varphi a''\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a0bb7a763d8e7ae4e1c5f002fc8f2ccdf3a79d) |
![{\displaystyle (x-\varphi b''\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a1d014f831eef18a84011d5f026aabe0e56889) |
etc. |
etc.,
|
on aura nécessairement
![{\displaystyle YY'Y''......=Z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1c07790b961bc553688a8763079b64e8123691)
Il nous reste à faire voir que tous les coefficiens, dans les
fonctions
etc. peuvent être ramenés à la forme
![{\displaystyle A+B(f,1)+C(f,g)+D(f,g^{2}).....+L(f,g^{e-1})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be1274e14886a13f9b4fefce55e74a3afe1e881)
car alors ils devront être regardés comme connus, dès que l’on connaîtra les valeurs de
etc. Or nous le prouverons de la manière suivante.
Le no précédent fait voir que de la même manière que l’on a
![{\displaystyle \cos \omega ={\frac {1}{2}}[1]+{\frac {1}{2}}[1]^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0479b58f4e65e72ed5c4ff407ac586c06ac42f81)
,
——![{\displaystyle \sin \omega =-{\frac {i}{2}}[1]+{\frac {i}{2}}[1]^{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4dcef86fe856f4db2d99a5563d599ccdd41123)
les autres fonctions trigonométriques de l’angle
sont réductibles à la forme
![{\displaystyle A'+B'[1]+C'[1]^{2}+D'[1]^{3}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b98bf6cff6ef40a9947fe76bd5a51d3dc84e7f4)
etc.,
et l’on voit sans la moindre difficulté, que la même fonction
pour l’angle
est alors
![{\displaystyle A'+B'[k\omega ]+C'[k\omega ]^{2}+D'[k\omega ]^{3}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e4cffb4aad0ef372490f60d6dade73c3dc221e)
etc.,
étant un entier quelconque. Or comme les différens coefficiens de
sont des fonctions invariables rationnelles et entières de
etc., il est manifeste que si, à la place de ces
quantités, on substitue leurs valeurs, les différens coefficiens deviendront des fonctions invariables de
etc., et partant (no 347) réductibles à la forme
![{\displaystyle A+B(f,1)+C(f,g)+D(f,g^{2})+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041e4a5c389441c96afbcbe0ec078b2f50f28bf5)
etc.,
il en est de même des coefficiens
,
etc.
364. Nous ajouterons encore quelques observations à l’égard
du problème du no précédent.
1o. Comme les racines de la période
entrent dans les coefficiens de
de la même manière que les racines de la période
entrent dans les coefficiens de
il suit du no 347 que
peut se déduire de
pourvu que l’on substi-
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