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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/509

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ARITHMÉTIQUES.


on a

,
.


On pourra de la même manière décomposer en quatre facteurs, dont les coefficiens s’exprimeront au moyen des valeurs des périodes de quatre termes ; le produit de deux d’entre eux sera , le produit des autres .

365. Nous avons ainsi réduit par les recherches précédentes la division du cercle en parties, si est un nombre premier, à la solution d’autant d’équations qu’il y a de facteurs dans le nombre , et dont le degré est déterminé par la grandeur des facteurs. Ainsi, toutes les fois que est une puissance de ce qui arrive pour les valeurs de


la division du cercle est réduite à des équations du second degré seulement, et les fonctions trigonométriques des angles peuvent être exprimées par des racines quarrées plus ou moins compliquées, suivant la grandeur de donc, dans ces différens cas, la division du cercle en parties, ou la description du polygone régulier de côtés, peut s’exécuter par des constructions géométriques. Par exemple, pour on tire facilement des nos 354, 361


les cosinus des multiples de cet angle ont une forme semblable, les sinus ont un radical de plus. Il y a certainement bien lieu de s’étonner que la divisibilité du cercle en et parties ayant été connue dès le temps d’Euclide, on n’ait rien ajouté à ces découvertes dans un intervalle de deux mille ans, et que tous les géomètres aient annoncé comme certain, qu’excepté ces divisions et celles qui s’en déduisent (les divisions en parties), on ne pouvait en effectuer aucune par des constructions géométriques.