Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/509

487

ARITHMÉTIQUES.

on a

$y=x^{8}$	$-\left({\frac {17}{8}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {17}}\right)x^{6}$	$+\left({\frac {51}{32}}-{\frac {7}{32}}{\sqrt {17}}\right)x^{4}$	…
…	$-\left({\frac {17}{32}}-{\frac {7}{64}}{\sqrt {17}}\right)x^{2}$	$+\;\;{\frac {17}{256}}-{\frac {1}{64}}{\sqrt {17}}$,
$y'=x^{8}$	$-\left({\frac {17}{8}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17}}\right)x^{6}$	$+\left({\frac {51}{32}}+{\frac {7}{32}}{\sqrt {17}}\right)x^{4}$	…
…	$-\left({\frac {17}{32}}+{\frac {7}{64}}{\sqrt {17}}\right)x^{2}$	$+\;\;{\frac {17}{256}}+{\frac {1}{64}}{\sqrt {17}}$.

On pourra de la même manière décomposer $Z$ en quatre facteurs, dont les coefficiens s’exprimeront au moyen des valeurs des périodes de quatre termes ; le produit de deux d’entre eux sera $y$, le produit des autres $y'$.

365. Nous avons ainsi réduit par les recherches précédentes la division du cercle en $n$ parties, si $n$ est un nombre premier, à la solution d’autant d’équations qu’il y a de facteurs dans le nombre $n-1$, et dont le degré est déterminé par la grandeur des facteurs. Ainsi, toutes les fois que $n-1$ est une puissance de $2,$ ce qui arrive pour les valeurs de $n$

$3,\quad 5,\quad 17,\quad 257,\quad 65537,\quad {\text{etc.}},$

la division du cercle est réduite à des équations du second degré seulement, et les fonctions trigonométriques des angles ${\frac {P}{n}},\,{\frac {P}{2n}},\,{\text{etc}}.$ peuvent être exprimées par des racines quarrées plus ou moins compliquées, suivant la grandeur de $n\,;$ donc, dans ces différens cas, la division du cercle en $n$ parties, ou la description du polygone régulier de $n$ côtés, peut s’exécuter par des constructions géométriques. Par exemple, pour $n=17,$ on tire facilement des n^os 354, 361

$\cos {\frac {P}{17}}=$	$-{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}+{\frac {1}{16}}{\sqrt {(34-2{\sqrt {17}})}}$
	$+$${\frac {1}{8}}{\sqrt {\left\{(17+3{\sqrt {17}})-{\sqrt {(34-2{\sqrt {17}})}}-2{\sqrt {(34+2{\sqrt {17}})}}\right\}}}\,;$

les cosinus des multiples de cet angle ont une forme semblable, les sinus ont un radical de plus. Il y a certainement bien lieu de s’étonner que la divisibilité du cercle en $3$ et $5$ parties ayant été connue dès le temps d’Euclide, on n’ait rien ajouté à ces découvertes dans un intervalle de deux mille ans, et que tous les géomètres aient annoncé comme certain, qu’excepté ces divisions et celles qui s’en déduisent (les divisions en $2^{\mu },\,15,\,3.2^{\mu },\,5.2^{\mu },\,15.2^{\mu }$ parties), on ne pouvait en effectuer aucune par des constructions géométriques.