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NOTES DU TRADUCTEUR.
Si maintenant sont des nombres pour lesquels se change en
on trouvera par le no 159, pour les nombres qui donnent une transformation quelconque semblable,
, |
|
, |
|
, |
|
; |
|
or il faut observer qu’ici les valeurs de , , , sont nécessairement entières
puisque , , , et , , , le sont.
Si l’on compare les valeurs de et de , que l’auteur déduit (no 199) avec
celles auxquelles nous parvenons directement, on verra qu’elles sont identiques
mutatis mutandis.
Mais si et n’étaient pas équivalentes, on se convaincra aisément que ces formules ne donneraient plus toutes les transformations, à moins que l’on n’admette
des valeurs fractionnaires de et dans lesquelles le dénominateur serait le quotient du plus grand commun diviseur des nombres , , , divisé par le plus
grand commun diviseur des nombres , , . Si nous nommons le plus
grand commun diviseur des nombres , , , et que nous fassions ,
on trouvera pour ce cas, en substituant dans les formules et , à la place
de et , des formules semblables dans lesquelles, à la place de , on doit mettre
, et où et seront des nombres qui satisfassent à l’équation ,
comme il résulte de l’analyse de l’auteur. Nous insistons peu sur ce second cas
qui est d’une moins grande utilité.
Note relative au no 164.
On peut encore faire cette recherche d’une manière qui nous paraît en quelque
sorte plus directe.
Nous supposerons qu’on ait démontré, comme l’auteur, les relations qui existent
entre , , , , , , , , et qui sont, en faisant usage de sa notation,
,
——,
——,
——
Cela posé, soit , la forme ambiguë cherchée, que nous désignerons
par ; faisons , sera un nombre entier. Or puisque doit se changer
en , renfermera proprement et improprement, et si la transformation
propre est
,
——
on obtiendra une transformation impropre, en combinant la transformation propre
avec une transformation impropre de en elle-même. Alors si se change en
par la transformation propre
,
——
en passant d’abord de à et ensuite de à , on obtiendra deux transformations de en une propre et l’autre impropre (no 159), et qui devront
coïncider avec les transformations données.