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RECHERCHES

que $h$ ne soit pas divisible par $p$ , et que $p^{\nu }$ soit la plus haute puissance de $p$ qui divise $t$ .

De là suivent sur-le-champ les deux premières propositions que nous nous étions proposé de démontrer (n^o 85), savoir :

1^o. Si $\alpha '\equiv 1$ , on aura aussi $(\alpha +hp^{n-\nu })^{t}\equiv 1{\pmod {p}}^{n}$ .

2^o. Si un nombre $\alpha '$ congru à $A$ et partant à $\alpha$ , suivant le module $p$ , mais incongru à $\alpha$ , suivant le module $p^{n-\nu }$ , satisfesait à la congruence $x^{t}\equiv 1{\pmod {p^{n}}}$ , supposons $\alpha '=\alpha +lp^{\lambda }$ , desorte que $l$ ne soit pas divisible par $p$ , on aura $\lambda <n-\nu$ ; alors $(\alpha +lp^{\lambda })^{t}\equiv \alpha ^{t}{\pmod {p^{\lambda +\nu }}}$ et non suivant $p^{n}$ , qui est une puissance de $p$ plus haute que $p^{\lambda +\nu }$ ; donc $\alpha '$ ne peut être racine de la congruence $x^{t}\equiv 1$ .

88. Nous devions en troisième lieu trouver une racine de la congruence $x^{t}\equiv 1{\pmod {p}}^{n}$ , qui fut congrue à $A$ . Il nous suffira de faire voir ici comment on peut y parvenir, si l’on connaît une racine de la congruence suivant le module $p^{n-1}$ , puisque l’on pourra passer du module $p$ , pour lequel $A$ est racine, au module $p^{2}$ et de là à toutes les puissances consécutives.

Soit donc $\alpha$ une racine de la congruence $x^{t}\equiv 1{\pmod {p^{n-1}}}$ et que l’on cherche une racine de la même congruence suivant le module $p^{n}$ nous la supposerons $=\alpha +hp^{n-\nu -1}$ , forme qu’elle doit avoir d’après l’article précédent : nous considérerons à part le cas où $\nu =n-1$ , et $\nu$ ne peut-être $>n-1$ . On aura donc $(\alpha +hp^{n-\nu -1})^{t}\equiv 1{\pmod {p^{n}}}$ ; mais $(\alpha +hp^{n-\nu -1})^{t}\equiv \alpha ^{t}+\alpha ^{t-1}htp^{n-\nu -1}{\pmod {p^{n}}}$ ; si donc on détermine $h$ de manière qu’on ait $1\equiv \alpha ^{t}+\alpha ^{t-1}htp^{n-\nu -1}{\pmod {p^{n}}}$ ; ou, comme par hypothèse $1\equiv \alpha ^{t}{\pmod {p^{n-1}}}$ et que $t$ est divisible par $p^{\nu }$ , de manière qu’on ait ${\frac {\alpha ^{t}-1}{p^{n-1}}}+\alpha ^{t-1}h{\frac {t}{p^{t}}}$ divisible par $p$ , le problême sera résolu ; or il est prouvé, dans la section précédente, que cela est toujours possible, puisque $t$ ne peut être divisé par une puissance de $p$ plus haute que $p^{\nu }$ , et que partant $\alpha ^{t-1}{\frac {t}{p}}$ est premier avec $p$ .

Mais