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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ESPACE.

des formules de l’art. 65, où la signification des lettres était celle-ci :

$\mathrm {L}$ la longitude de la Terre, $\mathrm {R}$ la distance au Soleil, nous posons la latitude $\mathrm {B} =0$ (puisque le cas où elle n’est pas $=0$ peut facilement se réduire à celui-là par l’art. 72), d’où $\mathrm {R} '=\mathrm {R} \,;$ $l$ la longitude géocentrique de l’astre, $b$ la latitude, $\Delta$ la distance à la Terre, $r$ la distance au Soleil, $u$ l’argument de la latitude, ${\text{☊ }}$ la longitude du nœud ascendant, $i$ l’inclinaison de l’orbite. Nous avons ainsi les équations

I.	$r\cos u-\mathrm {R} \cos(\mathrm {L} -{\text{☊ }})=$	$\Delta \cos b\cos(l-{\text{☊ }})$,
II.	$r\cos i\sin u-\mathrm {R} \sin(\mathrm {L} -{\text{☊ }})=$	$\Delta \cos b\sin(l-{\text{☊ }})$,
III.	$r\sin i\sin u=$	$\Delta \sin b$.

En multipliant l’équation I par $\sin(\mathrm {L} -{\text{☊ }})\sin b$, II par $-\cos(\mathrm {L} -{\text{☊ }})\sin b$, III par $-\sin(\mathrm {L} -l)\cos b$, on obtient en ajoutant les produits,

${\begin{aligned}\cos u\sin(\mathrm {L} -{\text{☊ }})\sin b&-\sin u\cos i\cos(\mathrm {L} -{\text{☊ }})\sin b\\&-\sin u\sin i\sin(\mathrm {L} -l)\cos b=0,\end{aligned}}$

d’où

IV.

$\operatorname {tang} u={\frac {\sin(\mathrm {L} -{\text{☊ }})\sin b}{\cos i\cos(\mathrm {L} -{\text{☊ }})\sin b+\sin i\sin(\mathrm {L} -l)\cos b}}.$

En multipliant aussi I par $\sin(l-{\text{☊ }})$, II par $-\cos(l-{\text{☊ }})$, et ajoutant les produits, on trouve

V.

$r={\frac {\mathrm {R} \sin(\mathrm {L} -l)}{\sin u\cos i\cos(l-{\text{☊ }})-\cos u\sin(l-{\text{☊ }})}}.$

L’ambiguïté qui existe dans la détermination de $u$ par l’équation IV est naturellement levée par l’équation III, qui montre que $u$ doit être compris entre 0 et 180°, ou entre 180° et 360°, selon que la latitude $b$ est positive ou négative ; mais si $b=0,$ l’équation V montre que l’on doit prendre $u={}$0 ou $u={}$180° selon que $\sin(\mathrm {L} -l)$ et $\sin(l-{\text{☊ }})$ ont des signes différents ou le même signe.

On peut réduire le calcul numérique des formules IV et V de différentes manières, par l’introduction d’angles auxiliaires. Comme par exemple,

en posant ${\frac {\operatorname {tang} b\cos(\mathrm {L} -{\text{☊ }})}{\sin(\mathrm {L} -l)}}=\operatorname {tang} \mathrm {A}$, on a

$\operatorname {tang} u={\frac {\sin \mathrm {A} \operatorname {tang} (\mathrm {L} -{\text{☊ }})}{\sin(\mathrm {A} +i)}};$

en posant ${\frac {\operatorname {tang} i\sin(\mathrm {L} -{\text{☊ }})}{\cos(\mathrm {L} -l)}}=\operatorname {tang} \mathrm {B}$, on a

$\operatorname {tang} u={\frac {\cos \mathrm {B} \sin b\operatorname {tang} (\mathrm {L} -{\text{☊ }})}{\sin(\mathrm {B} +b)\cos i}}.$

De même l’équation V prend une forme plus élégante en intro-