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LIVRE I, SECTION II.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

III.	${\frac {\Delta '}{r}}\left({\frac {dl}{di}}\right)=$	$-\cos \omega \sin u\sin i$.
IV.	$\left(\!{\frac {dl}{d{\text{☊ }}}}\!\right)=$	$1+{\frac {\mathrm {R} }{\Delta '}}\cos(\mathrm {L} -{\text{☊ }}-\omega )$ $=1+{\frac {\mathrm {R} }{\Delta '}}\cos(\mathrm {L} -l)$.
V.	$\Delta \left({\frac {db}{dr}}\right)=$	${\begin{aligned}\;&\\-\cos \omega \cos u\sin b-\sin \omega {}&{}\sin u\cos i\sin b\\+&{}\,\sin u\sin i\cos b.\end{aligned}}$
VI.	${\frac {\Delta }{r}}\left({\frac {db}{du}}\right)=$	${\begin{aligned}\;&\\\cos \omega \sin u\sin b-\sin \omega {}&{}\cos u\cos i\sin b\\+&{}\,\cos u\sin i\cos b.\end{aligned}}$
VII.	${\frac {\Delta }{r}}\left({\frac {db}{di}}\right)=$	$\sin \omega \sin u\sin i\sin b+\sin u\cos i\cos b$.
VIII.	${\frac {\Delta }{\mathrm {R} }}\left(\!{\frac {db}{d{\text{☊ }}}}\!\right)=$	$\sin b\sin(\mathrm {L} -{\text{☊ }}-\omega )=\sin b\sin(\mathrm {L} -l)$.

Les formules IV et VIII se présentent déjà sous la forme la plus commode pour le calcul ; mais les formules I, III et IV sont mises, par des substitutions évidentes, sous une forme plus élégante, à savoir :

I∗.	$\left({\frac {dl}{dr}}\right)=$	${\frac {\mathrm {R} }{r\Delta '}}\sin(\mathrm {L} -l)$.
III∗.	$\left({\frac {dl}{di}}\right)=$	$-\cos \omega \operatorname {tang} b$.
V∗.	$\left({\frac {db}{dr}}\right)=$	$-{\frac {\mathrm {R} }{r\Delta }}\cos(\mathrm {L} -l)\sin b=-{\frac {\mathrm {R} }{r\Delta '}}\cos(\mathrm {L} -l)\sin b\cos b.$

Enfin, les autres formules II, VI, VII se transforment aussi en expressions plus simples par l’introduction de certains angles auxiliaires ; ce qui se fait le plus commodément de la manière suivante. Les angles auxiliaires $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ sont déterminés par les formules

${\begin{aligned}\operatorname {tang} \mathrm {M} &={\frac {\operatorname {tang} \omega }{\cos i}},&\operatorname {tang} \mathrm {N} &=\sin \omega \operatorname {tang} i=\operatorname {tang} \mathrm {M} \cos \omega \sin i.\end{aligned}}$

On a alors, en même temps,

${\frac {\cos ^{2}\mathrm {M} }{\cos ^{2}\mathrm {N} }}={\frac {1+\operatorname {tang} ^{2}\mathrm {N} }{1+\operatorname {tang} ^{2}\mathrm {M} }}={\frac {\cos ^{2}i+\sin ^{2}\omega \sin ^{2}i}{\cos ^{2}i+\operatorname {tang} ^{2}\omega }}=\cos ^{2}\omega .$

Maintenant, puisque l’incertitude qui existe dans la détermination de $\mathrm {M}$ et de $\mathrm {N}$ peut être écartée à volonté, il est évident qu’on peut le faire en admettant que l’on ait