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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ESPACE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

ques et de la distance raccourcie, d’après les variations de l’argument de la latitude $u,$ de l’inclinaison $i$ et du rayon vecteur $r,$ et après cela nous en avons déduit (art. 64, IV) les variations de la longitude et de la latitude géocentriques $l$ et $b\,;$ par la combinaison de ces formules, $dl$ et $db$ peuvent donc être exprimées en fonction de $du,$ $di,$ $d{\text{☊ }}$ et $dr.$ Mais il sera utile de montrer comment dans ce calcul on peut aussi omettre la réduction du lieu héliocentrique à l’écliptique, de même que dans l’art. 65 nous avons immédiatement déduit le lieu géocentrique du lieu héliocentrique dans l’orbite. Pour que les formules en deviennent plus simples, nous négligeons la latitude de la Terre, puisque cette latitude ne peut certainement avoir d’effet sensible dans les formules différentielles. Nous avons par conséquent les formules suivantes dans lesquelles nous remplaçons, par abréviation, $l-{\text{☊ }},$ par $\omega \,;$ nous écrivons aussi, comme ci-dessus, $\Delta '$ pour $\Delta \cos b.$

${\begin{alignedat}{5}\Delta '\cos \omega &=r\cos u&{}-{}&\mathrm {R} \cos(\mathrm {L} -{\text{☊ }})&{}={}&\xi ,\\\Delta '\,\sin \omega &=r\cos i\sin u&{}-{}&\mathrm {R} \sin(\mathrm {L} -{\text{☊ }})&{}={}&\eta ,\\\Delta '\operatorname {tang} b&=r\sin i\sin u&&&{}={}&\zeta \,;\end{alignedat}}$

Il vient, en les différentiant,

${\begin{alignedat}{3}\cos \omega .d\Delta '&-\Delta '\sin \omega \,.d\omega &{}={}&d\xi ,\\\sin \omega \,.d\Delta '&-\Delta '\cos \omega .d\omega &{}={}&d\eta ,\\\operatorname {tang} b.d\Delta '&+{\frac {\Delta }{\cos b}}.db&{}={}&d\zeta ,\end{alignedat}}$

de là, par élimination,

${\begin{aligned}d\omega &={\frac {-\sin \omega .d\xi +\cos \omega .d\eta }{\Delta '}},\\db&={\frac {-\cos \omega \sin b.d\xi -\sin \omega \sin b.d\eta +\cos b.d\zeta }{\Delta }}.\end{aligned}}$

Si, dans ces formules, nous mettons à la place de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ leurs valeurs, $d\omega$ et $db$ deviendront exprimées en fonction de $dr,$ $du,$ $di$ et $d{\text{☊ }}\,;$ ensuite, à cause de $dt=d\omega +d{\text{☊ }},$ les différentielles partielles de $l,$ $b$ seront ainsi qu’il suit :

I.	$\Delta '\left({\frac {dl}{dr}}\right)=$	$-\sin \omega \cos u+\cos \omega \sin u$ $\cos i$.
II.	${\frac {\Delta '}{r}}\left({\frac {dl}{du}}\right)=$	$\sin \omega \sin u+\cos \omega \cos u\cos i$.