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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ESPACE.

${\frac {\cos \mathrm {M} }{\cos \mathrm {N} }}=+\cos \omega$,

et par suite,

${\frac {\sin \mathrm {N} }{\sin \mathrm {M} }}=+\sin i$.

Ceci posé, les formules II, VI, VII se changent en les suivantes :

II∗.	$\left({\frac {dl}{du}}\right)=$	${\frac {r\sin \omega \cos(\mathrm {M} -u)}{\Delta '\sin \mathrm {M} }}$.
VI∗.	$\left({\frac {db}{du}}\right)=$	${\frac {r}{\Delta }}{\big [}{\begin{aligned}\;&\\\cos \omega \sin i\cos(\mathrm {M} -u)\cos(\mathrm {N} -b)&\\+\sin(\mathrm {M} -u)\sin(\mathrm {N} -b)&{\big ]}.\end{aligned}}$
VII∗.	$\left({\frac {db}{di}}\right)=$	${\frac {r\sin u\cos i\cos(\mathrm {N} -b)}{\Delta \cos \mathrm {N} }}$.

Ces transformations, relativement aux formules II et VII, n’arrêteront personne ; mais, en ce qui regarde la formule VI, quelque explication ne sera pas superflue.

En substituant, en effet, dans la formule VI d’abord $\mathrm {M} -(\mathrm {M} -u)$ à la place de $u$, on trouve

${\frac {\Delta }{r}}\left({\frac {db}{du}}\right)$

${\begin{aligned}=\cos(\mathrm {M} \!-\!u){\big (}\cos \omega \sin \mathrm {M} \sin b&-\sin \omega \cos i\cos \mathrm {M} \sin b\\[-0.5ex]&+\sin i\cos \mathrm {M} \cos b{\big )}\\-\sin(\mathrm {M} \!-\!u){\big (}\cos \omega \cos \mathrm {M} \sin b&+\sin \omega \cos i\sin \mathrm {M} \sin b\\[-0.5ex]&-\sin i\sin \mathrm {M} \cos b{\big )}.\end{aligned}}$

On a maintenant,

${\begin{alignedat}{3}\cos \omega \sin \mathrm {M} &=\cos ^{2}i\cos \omega \sin \mathrm {M} &{}+{}&\sin ^{2}i\cos \omega \sin \mathrm {M} \\&=\sin \omega \cos i\cos \mathrm {M} &{}+{}&\sin ^{2}i\cos \omega \sin \mathrm {M} \,;\end{alignedat}}$

de là, la première partie de l’expression précédente se change en

${\begin{aligned}&\sin i\cos(\mathrm {M} -u)(\sin i\cos \omega \sin \mathrm {M} \sin b+\cos \mathrm {M} \cos b)\\={}&\sin i\cos(\mathrm {M} -u)(\cos \omega \sin \mathrm {N} \sin b+\cos \omega \cos \mathrm {N} \cos b)\\={}&\cos \omega \sin i\cos(\mathrm {M} -u)\cos(\mathrm {N} -b).\end{aligned}}$

On a de même,

$\cos \mathrm {N} =\cos ^{2}\omega \cos \mathrm {N} +\sin ^{2}\omega \cos \mathrm {N} =\cos \omega \cos \mathrm {M} +\sin \omega \cos i\sin \mathrm {M} \,;$

d’où la dernière partie de l’expression se change en

$-\sin(\mathrm {M} -u)(\cos \mathrm {N} \sin b-\sin \mathrm {N} \cos b)=\sin(\mathrm {M} -u)\sin(\mathrm {N} -b).$

De là, résulte complètement l’expression VI^∗.