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LIVRE I, SECTION II.

L’angle auxiliaire $\mathrm {M}$ peut aussi servir à transformer la formule I, qui, par l’introduction de cet angle, prend la forme

I∗∗.

$\left({\frac {dl}{dr}}\right)=-{\frac {\sin \omega \sin(\mathrm {M} -u)}{\Delta '\sin \mathrm {M} }}.$

En comparant cette formule à la formule I^∗, on conclut que

$-\mathrm {R} \sin(\mathrm {L} -l)\sin \mathrm {M} =r\sin \omega \sin(\mathrm {M} -u)$ ;

de là aussi, une forme un peu plus simple peut être donnée à la formule II^∗, à savoir :

II∗∗.

$\left({\frac {dl}{du}}\right)=-{\frac {\mathrm {R} }{\Delta '}}\sin(\mathrm {L} -l)\operatorname {cotang} (\mathrm {M} -u).$

Pour que la formule VI^∗ soit simplifiée encore davantage, il est nécessaire d’introduire un nouvel angle auxiliaire, ce qui peut se faire de deux manières, soit en posant

$\operatorname {tang} \mathrm {P} ={\frac {\operatorname {tang} (\mathrm {M} -u)}{\cos \omega \sin i}}$, ou  $\operatorname {tang} \mathrm {Q} ={\frac {\operatorname {tang} (\mathrm {N} -b)}{\cos \omega \cos i}}$,

d’où résulte

VI∗∗.

${\begin{aligned}\left({\frac {db}{du}}\right)&={\frac {r\sin(\mathrm {M} -u)\cos(\mathrm {N} -b-\mathrm {P} )}{\Delta \sin \mathrm {P} }}\\&={\frac {r\sin(\mathrm {N} -b)\cos(\mathrm {M} -u-\mathrm {Q} )}{\Delta \sin \mathrm {Q} }}.\end{aligned}}$

Les quantités auxiliaires $\mathrm {M,\,N,\,P,\,Q}$ ne sont pas, du reste, purement fictives, et il serait facile d’assigner ce que représente chacune d’elles dans la voûte céleste ; plusieurs des équations précédentes peuvent même être données plus élégamment par le moyen d’arcs ou d’angles de la sphère, auxquels nous nous arrêterons d’autant moins ici qu’ils ne rendent pas superflues, pour le calcul numérique lui-même, les formules développées ci-dessus.

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Les formules développées dans l’article précédent, jointes à celles que nous avons données dans les art. 15, 16, 20, 27, 28 pour les différents genres de section coniques, fourniront toutes les relations qui sont nécessaires pour le calcul des variations différentielles d’un lieu géocentrique causées par les variations de chacun des éléments. Pour mieux éclaircir ces principes, nous résumerons l’exemple traité