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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

II. La méthode suivante est plus courte, surtout si l’on doit calculer plusieurs positions pour lesquelles il suffit de calculer, une fois seulement, les logarithmes des quantités constantes ${\sqrt {a(1+e)}},$ ${\sqrt {a(1-e)}}.$

D’après les équations V et VI, on a :

${\begin{aligned}\sin {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}&=\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {E} {\sqrt {a(1+e)}}\\\cos {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}&=\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {E} {\sqrt {a(1-e)}}\end{aligned}}$

d’où l’on obtient immédiatement ${\frac {1}{2}}v$ et $\log {\sqrt {\overset {}{r}}}$.

Toutes les fois, en général, qu’on a $\mathrm {P\sin \mathrm {Q} =\mathrm {A} }$, $\mathrm {P\cos \mathrm {Q} =\mathrm {B} }$, on trouve assurément $\mathrm {Q}$ par la formule $\mathrm {\operatorname {tang} \mathrm {Q} ={\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {B} }}}$ et ensuite $\mathrm {P}$ par la relation $\mathrm {P={\frac {\mathrm {A} }{\sin \mathrm {Q} }}}$ ou par $\mathrm {P={\frac {\mathrm {B} }{\cos \mathrm {Q} }}}$ ; on doit préférer la première quand $\sin \mathrm {Q}$ est plus grand que $\cos \mathrm {Q}$, et la seconde quand $\cos \mathrm {Q}$ est plus grand que $\sin \mathrm {Q}$.

Le plus souvent, les problèmes dans lesquels on parvient à de semblables équations (ils se présentent fréquemment dans cet ouvrage), impliquent la condition que $\mathrm {P}$ doit être une quantité positive ; de là naît immédiatement le doute de savoir s’il faut prendre $\mathrm {Q}$ entre 0 et 180° ou entre 180° et 360°. Mais si une telle condition n’existe pas, cette détermination est laissée à notre choix.

Dans notre exemple, nous avons $e={}$0,2453162.

$\log \sin {\tfrac {1}{2}}\mathrm {E} .......$	9,4867632		$\log \cos {\tfrac {1}{2}}\mathrm {E} .......$	9,9785434 $n$
$\log {\sqrt {a(1+e)}}....$	0,2588593		$\log {\sqrt {a(1-e)}}....$	0,1501020

De là

$\log \sin {\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}....$	9,7456225	$\left.{\begin{array}{c}\\[1ex]\\\end{array}}\right\}$	d’où $\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v=$	9,6169771 $n$
$\log \cos {\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}....$	0,1286454 $n$		${\tfrac {1}{2}}v=$	157° 30′ 41,5″
$\log \cos {\tfrac {1}{2}}v.......$	9,9656515 $n$		$v=$	315° 01′ 23″
$\log {\sqrt {\overset {}{r}}}..........$	0,1629939
$\log {r}...........$	0,3259878.

III. À ces méthodes nous ajoutons une troisième qui également est presque aussi prompte que la seconde, mais qui, le plus souvent,