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LIVRE I, SECTION III.

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L’équation 12, dans laquelle relativement au cas dont il s’agit il convient évidemment d’adopter le signe supérieur, prend, en introduisant la quantité $\xi ,$ la forme

$m=(l+x)^{\frac {1}{2}}+{\frac {(l+x)^{\frac {3}{2}}}{{\dfrac {3}{4}}-{\dfrac {9}{10}}(x-\xi )}}.$

En posant donc, ${\sqrt {(l+x)}}={\frac {m}{y}},$ et

[14]

${\frac {m^{2}}{{\dfrac {5}{6}}+l+\xi }}=h,$

on a, après toutes les réductions convenables,

[15]

$h={\frac {(y-1)y^{2}}{y+{\dfrac {1}{9}}}}.$

C’est pourquoi, si l’on peut regarder $h$ comme une quantité connue, $y$ s’en déduira à l’aide d’une équation du troisième degré, et l’on aura ensuite,

[16]

$x={\frac {m^{2}}{y^{2}}}-l.$

Maintenant, quoique $h$ contienne une quantité $\xi$ encore inconnue, on pourra, dans une première approximation, la négliger et prendre pour valeur de $h,$ ${\frac {m^{2}}{{\frac {5}{6}}+l}}$ puisque certainement, dans le cas que nous considérons, $\xi$ est toujours une quantité extrêmement petite.

De là, par les équations 15 et 16 on obtiendra $y$ et $x\,;$ de $x$ on déduira $\xi ,$ au moyen de la table III, et avec cette quantité on trouvera par la formule 14, la valeur de $h$ corrigée, avec laquelle recommençant le même calcul, on obtiendra les valeurs exactes de $y$ et $x.$ Le plus souvent ces valeurs diffèrent si peu des précédentes que $\xi$ pris de nouveau dans la table, n’est pas différent de la première valeur ; s’il en était autrement, il faudrait recommencer de nouveau le calcul