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LIVRE I, SECTION III.

dans notre problème devra être adoptée. Puisqu’en effet $h$ est évidemment une quantité positive, on conclut facilement de la théorie des équations, que l’équation 15 a une seule racine positive avec deux imaginaires ou deux négatives. Maintenant, puisque $y={\frac {m}{\sqrt {l+{\overset {}{x}}}}}$ doit être nécessairement une quantité positive, il est évident qu’il ne reste ici aucune incertitude.

Mais, en ce qui regarde l’équation 15^∗, nous observons d’abord que $\mathrm {L}$ est nécessairement plus grand que $1\,;$ ce qui est facilement démontré, si l’équation donnée dans l’art. 89 est mise sous la forme

$\mathrm {L} =1+{\frac {\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}f}{-\cos f}}+{\frac {\operatorname {tang} ^{2}2\omega }{-\cos f}}.$

En substituant ensuite, dans l’équation 12^∗, $\mathrm {Y} {\sqrt {\mathrm {L} -{\overset {}{x}}}}$ à la place de $\mathrm {M} ,$ il vient

$\mathrm {Y} +1=(\mathrm {L} -x)\mathrm {X} ,$

et, par suite,

$\mathrm {Y} \!+\!1>(1\!-\!x)\mathrm {X} >{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{3.5}}x+{\frac {4.6}{3.5.7}}x^{2}+{\frac {4.6.8}{3.5.7.9}}x^{3}+...>{\frac {4}{3}},$

et par conséquent, $\mathrm {Y} >{\frac {1}{3}}.$ En posant, donc, $\mathrm {Y} ={\frac {1}{3}}+\mathrm {Y} ',$ $\mathrm {Y} '$ sera nécessairement une quantité positive ; par là aussi, l’équation 15^∗ se change en celle-ci

$\mathrm {Y} '^{3}+2\mathrm {Y} '^{2}+(1-\mathrm {H} )\mathrm {Y} '+{\frac {4}{27}}-{\frac {2}{9}}\mathrm {H} =0,$

qui ne peut avoir plusieurs racines positives, ainsi que le prouve facilement la théorie des équations. On conclut de là que l’équation 15^∗ ne peut avoir qu’une racine plus grande que ${\frac {1}{3}}$^[1] qu’il faudra, les autres étant négligées, adopter dans notre problème.

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Pour rendre la solution de l’équation 15 la plus facile possible, pour les cas qui se présentent le plus fréquemment dans la pratique,

1. Si à la vérité nous supposons le problème réellement soluble.