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Page:Gauss - Théorie du mouvement des corps célestes, traduction Dubois, 1864.djvu/149

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LIVRE I, SECTION III.

dans notre problème devra être adoptée. Puisqu’en effet est évidemment une quantité positive, on conclut facilement de la théorie des équations, que l’équation 15 a une seule racine positive avec deux imaginaires ou deux négatives. Maintenant, puisque doit être nécessairement une quantité positive, il est évident qu’il ne reste ici aucune incertitude.

Mais, en ce qui regarde l’équation 15, nous observons d’abord que est nécessairement plus grand que ce qui est facilement démontré, si l’équation donnée dans l’art. 89 est mise sous la forme

En substituant ensuite, dans l’équation 12, à la place de il vient

et, par suite,

et par conséquent, En posant, donc, sera nécessairement une quantité positive ; par là aussi, l’équation 15 se change en celle-ci

qui ne peut avoir plusieurs racines positives, ainsi que le prouve facilement la théorie des équations. On conclut de là que l’équation 15 ne peut avoir qu’une racine plus grande que [1] qu’il faudra, les autres étant négligées, adopter dans notre problème.

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Pour rendre la solution de l’équation 15 la plus facile possible, pour les cas qui se présentent le plus fréquemment dans la pratique,

  1. Si à la vérité nous supposons le problème réellement soluble.