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LIVRE I, SECTION III.

positions de l’astre pourront être déterminés, au moyen des éléments connus, par la méthode développée dans l’art. 41, intervalles dont la différence ou la somme (selon que le périhélie est situé en dehors ou en dedans des deux lieux proposés), devant s’accorder avec l’intervalle $t,$ servira à confirmer l’exactitude du calcul. Les nombres de ce troisième exemple avaient été déduits des éléments supposés dans l’exemple des art. 38 et 43, de même que cet exemple nous avait fourni notre premier lieu ; les légères différences des éléments obtenus ici proviennent uniquement de la précision limitée des tables logarithmiques et trigonométriques.

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La solution de notre problème pour l’ellipse, développée dans les articles précédents, pourrait aussi s’appliquer à la parabole et à l’hyperbole, en considérant la parabole comme une ellipse dans laquelle $a$ et $b$ seraient des quantités infinies, $\varphi =90^{\circ },$ et enfin $\mathrm {E} ,$ $\mathrm {E} ',$ $g$ et $\mathrm {G} =0\,;$ et de même, l’hyperbole comme une ellipse dans laquelle $a$ serait négatif et $b,$ $\mathrm {E} ,$ $\mathrm {E} ',$ $g,$ $\mathrm {G} ,$ $\varphi$ imaginaires ; nous préférons cependant, nous abstenir de ces suppositions, et traiter le problème séparément pour chaque genre de sections coniques. Une analogie remarquable se manifestera ainsi de soi-même entre les trois genres.

En conservant dans la PARABOLE, aux lettres $p,\,v,\,v',$ $\mathrm {F} ,\,f,$ $r,\,r',$ $t$ la même signification avec laquelle nous les avons prises ci-dessus, nous avons, d’après la théorie du mouvement parabolique ;

[1]

${\sqrt {\frac {p}{2r}}}=\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} -f),$

[2]

${\sqrt {\frac {p}{2r'}}}=\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +f),$

${\begin{aligned}{\frac {2kt}{p^{\frac {3}{2}}}}&=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!+\!f)-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!-\!f)+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}\!{\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!+\!f)-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}\!{\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!-\!f)\\&=\left[\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!+\!f)-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!-\!f)\right].\left\{1+\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!+\!f)\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!-\!f)\right.\\&+\left.{\frac {1}{3}}\left[\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!+\!f)-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!-\!f)\right]^{2}\right\}\\&={\frac {2\sin f{\sqrt {rr'}}}{p}}\left({\frac {2\cos f{\sqrt {rr'}}}{p}}+{\frac {4\sin ^{2}f.rr'}{3p^{2}}}\right),\end{aligned}}$