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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

d’où

[3]

$kt={\frac {2\sin f\cos f.rr'}{\sqrt {\overset {}{p}}}}+{\frac {4\sin ^{2}\!f\,(rr')^{\frac {3}{2}}}{3p^{\frac {3}{2}}}}$

On déduit ensuite par la multiplication des équations 1, 2

[4]

${\frac {p}{\sqrt {rr'}}}=\cos \mathrm {F} +\cos f,$

et aussi par l’addition des carrés,

[5]

${\frac {p(r+r')}{2rr'}}=1+\cos \mathrm {F} \cos f.$

De là, $\cos \mathrm {F}$ étant éliminé,

[6]

$p={\frac {2rr'\sin ^{2}\!f}{r+r'-2\cos f{\sqrt {rr'}}}}.$

C’est pourquoi, si nous adoptons ici les équations 9, 9^∗ de l’art. 88, la première étant relative à $\cos f$ positif et la seconde à $\cos f$ négatif, nous aurons

[7]

$p={\frac {\sin ^{2}\!f{\sqrt {rr'}}}{2l\cos f}}$

[7∗]

$p={\frac {\sin ^{2}\!f{\sqrt {rr'}}}{-2\mathrm {L} \cos f}}$

Ces valeurs étant substituées dans l’équation 3, il viendra, en conservant aux lettres $m,$ $\mathrm {M}$ la signification établie par les équations 11, 11^∗, art. 88,

[8]

$m=l^{\frac {1}{2}}+{\frac {4}{3}}l^{\frac {3}{2}}.$

[8∗]

$\mathrm {M} =-\mathrm {L} ^{\frac {1}{2}}+{\frac {4}{3}}\mathrm {L} ^{\frac {3}{2}}.$

Ces équations s’accordent avec les équations 12, 12^∗ art. 88, si on fait dans celles-ci $g=0.$ On en conclut que si deux lieux héliocentriques, auxquels on satisfait par une parabole, sont traités comme si l’orbite était elliptique, il doit en résulter immédiatement, par application des formules de l’art. 91, $x=0\,;$ réciproquement, on voit facilement que si au moyen de ces formules on obtient $x=0,$ l’orbite se trouve parabolique au lieu d’elliptique, puisque d’après les