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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

III. Il ne sera pas hors de propos d’éclaircir aussi par un exemple l’autre cas dans lequel $\cos f$ est négatif. Soient $v'\!-v=224^{\circ }\,0'\,0'',$ ou $f=112^{\circ }\,0'\,0'',$ $\log r=0,1394892,$ $\log r'=0,3978794,$ $t=206,80919$ jours. On trouve ici $\omega =+4^{\circ }\,14'\,43''\!,78,$ $\mathrm {L} =1,8942298,$ $\log \mathrm {M} ^{2}=0,6724333,$ la première valeur approchée de $\log \mathrm {H} =0,6467603,$ d’où par la résolution de l’équation 15^∗, on obtient $\mathrm {Y} =1,591432,$ et ensuite $x=0,037037,$ à laquelle répond, dans la table III, $\xi =0,0000801.$ De là se déduisent les valeurs corrigées $\log \mathrm {H} =0,6467931,$ $\mathrm {Y} =1,5915107,$ $x=0,0372195,$ $\xi =0,0000809.$ Le calcul étant recommencé de nouveau avec cette valeur de $\xi ,$ il vient $x=0,0372213,$ valeur qui n’exige plus de correction, puisque $\xi$ déduit de là n’éprouve pas de changement. On trouve ensuite ${\frac {1}{2}}g=11^{\circ }\,7'\,25''\!,40,$ et de là, de même que dans l’exemple I

${\tfrac {1}{2}}($	$\mathrm {F} -\mathrm {G} )$	$=$	3° 33′ 53,59″		$\log \mathrm {P} =\log \mathrm {R} \cos {\tfrac {1}{2}}\varphi ..$	9,9700508
${\tfrac {1}{2}}($	$\mathrm {F} +\mathrm {G} )$	$=$	8° 26′ 06,38″		$\log \mathrm {Q} =\log \mathrm {R} \sin {\tfrac {1}{2}}\varphi ..$	9,8580552
	$\mathrm {F}$	$=$	11° 59′ 59,97″		${\tfrac {1}{2}}\varphi =$ 37° 41′ 34,27″
	$v$	$=$	− 100° 00′ 00,03″		$\varphi =$ 75° 23′ 08,54″
	$v'$	$=$	+ 123° 59′ 59,97″		$\log \mathrm {R}$	0,0717096
	$\mathrm {G}$	$=$	4° 52′ 12,79″		Comme preuve du calcul, on a :
	$\mathrm {E}$	$=$	− 017° 22′ 38,01″
	$\mathrm {E} '$	$=$	+ 027° 07′ 03,59″		$\log {\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {Y} }}{\sqrt {-2\cos f}}.....$	0,0717097

Dans les orbites si excentriques, l’angle $\varphi$ est calculé un peu plus exactement par la formule 19^∗ qui donne, dans notre exemple, $\varphi =75^{\circ }\,23'\,8''\!,57\,;$ l’excentricité $e$ est aussi déterminée avec une plus grande précision par la formule $1-2\sin ^{2}\left(45^{\circ }\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right),$ que par $\sin \varphi \,:$ d’après la première relation, on a $e=0,96764630.$

Par la formule 1, on trouve ensuite $\log b=0,6576611,$ d’où $\log p=0,0595967,$ $\log a=1,2557255,$ et le logarithme de la distance périhélie

$\log {\frac {p}{1+e}}=\log a(1-e)=\log b\operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right)=9,7656496.$

Dans les orbites qui se rapprochent autant de la forme parabolique, on a coutume d’assigner, à la place de l’époque de l’anomalie moyenne, l’instant du passage par le périhélie ; les intervalles compris entre ce moment et les deux époques qui correspondent aux deux