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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

[3]

$\cos {\frac {1}{2}}v'={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {\mathrm {C} c}}+{\sqrt {\frac {1}{\mathrm {C} c}}}\right){\sqrt {\frac {(e-1)\alpha }{r'}}},$

[4]

$\sin {\frac {1}{2}}v'={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {\mathrm {C} c}}-{\sqrt {\frac {1}{\mathrm {C} c}}}\right){\sqrt {\frac {(e+1)\alpha }{r'}}},$

De là aussitôt découlent les suivantes :

[5]

$\sin \mathrm {F} ={\frac {1}{2}}\alpha \left(\mathrm {C} -{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right){\sqrt {\frac {e^{2}-1}{rr'}}},$

[6]

$\sin f={\frac {1}{2}}\alpha \left(c-{\frac {1}{c}}\right){\sqrt {\frac {e^{2}-1}{rr'}}},$

[7]

$\cos \mathrm {F} =\left[e\left(c+{\frac {1}{c}}\right)-\left(\mathrm {\mathrm {C} } +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\right]{\frac {\alpha }{2{\sqrt {rr'}}}},$

[8]

$\cos f=\left[e\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)-\left(c+{\frac {1}{c}}\right)\right]{\frac {\alpha }{2{\sqrt {rr'}}}}.$

On a ensuite par l’équation X de l’art. 21,

${\begin{aligned}{\frac {r}{\alpha }}&={\frac {1}{2}}e\left({\frac {\mathrm {C} }{c}}+{\frac {c}{\mathrm {C} }}\right)-1,\\{\frac {r'}{\alpha }}&={\frac {1}{2}}e\left(\mathrm {C} c+{\frac {1}{\mathrm {C} c}}\right)-1,\end{aligned}}$

et de là

[9]

${\frac {r'-r}{\alpha }}={\frac {1}{2}}e\left(\mathrm {C} -{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\left(c-{\frac {1}{c}}\right),$

[10]

${\frac {r'+r}{\alpha }}={\frac {1}{2}}e\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\left(c+{\frac {1}{c}}\right),$

Cette équation 10 combinée avec l’équation 8 donne

[11]

$\alpha ={\frac {r'+r-\left(c+{\dfrac {1}{c}}\right)\cos f\,{\sqrt {rr'}}}{{\dfrac {1}{2}}\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)^{2}}}.$

En posant donc, de même que dans l’ellipse,

${\frac {{\sqrt {\dfrac {r'}{\overset {}{r}}}}+{\sqrt {\dfrac {r}{r'}}}}{2\cos f}}=1+2l,$ ou $=1-2\mathrm {L} ,$