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LIVRE I, SECTION III.
équations 1, 16, 17, 19, 20, on a
La détermination des éléments s’achève ensuite très-facilement. Pour
on
pourra en effet, employer l’équation 7 du présent article ou l’équation 18 de l’art. 95[1] : mais pour
on a, d’après les équations 1, 2
de cet article
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {F} ={\frac {{\sqrt {r'}}-{\sqrt {\overset {}{r}}}}{{\sqrt {r'}}+{\sqrt {\overset {}{r}}}}}\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}f=\sin 2\omega \operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b38b0206f280b45039a2b65ad83afe55a6c9cf3)
si l’angle auxiliaire
est pris avec la même signification que dans
l’art. 89.
À cette occasion nous observons encore, que si dans l’équation 3
nous substituons à la place de
sa valeur de l’équation 6, on retrouve
la relation assez connue
![{\displaystyle kt={\frac {1}{3}}\left(r+r'+\cos f{\sqrt {rr'}}\right)\left(r+r'-2\cos f{\sqrt {rr'}}\right)^{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13012e4917773ebdbf1481ead665057f3c8828c)
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Dans l’HYPERBOLE, nous conservons aussi aux lettres
la même signification ; mais à la place du demi-grand axe
qui est ici négatif, nous écrivons
nous poserons ensuite
comme ci-dessus, art. 21, l’excentricité
Nous ferons la
quantité auxiliaire exprimée par
dans cet article, égale à
pour le
premier lieu et à
pour le second, d’où l’on conclut facilement que
est toujours plus grand que 1, mais toutes choses égales, diffère
d’autant moins de l’unité que les deux lieux proposés sont moins
distants l’un de l’autre. Des équations développées dans l’art. 21,
nous transportons ici, en modifiant un peu leur forme, la sixième et
la septième :
[1]
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[2]
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- ↑ D’où il est en même temps évident que
et
expriment, dans la parabole, les
mêmes rapports que dans l’ellipse. (V. art. 95.)