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LIVRE I, SECTION III.

équations 1, 16, 17, 19, 20, on a $b=\infty ,$ $a=\infty ,$ $\varphi =90^{\circ }\!.$ La détermination des éléments s’achève ensuite très-facilement. Pour $p$ on pourra en effet, employer l’équation 7 du présent article ou l’équation 18 de l’art. 95^[1] : mais pour $\mathrm {F}$ on a, d’après les équations 1, 2 de cet article

\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {F} ={\frac {{\sqrt {r'}}-{\sqrt {\overset {}{r}}}}{{\sqrt {r'}}+{\sqrt {\overset {}{r}}}}}\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}f=\sin 2\omega \operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}f

si l’angle auxiliaire $\omega$ est pris avec la même signification que dans l’art. 89.

À cette occasion nous observons encore, que si dans l’équation 3 nous substituons à la place de $p$ sa valeur de l’équation 6, on retrouve la relation assez connue

kt={\frac {1}{3}}\left(r+r'+\cos f{\sqrt {rr'}}\right)\left(r+r'-2\cos f{\sqrt {rr'}}\right)^{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}.

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Dans l’HYPERBOLE, nous conservons aussi aux lettres $p,$ $v,\,v',$ $f,\,\mathrm {F} ,$ $r,\,r',$ $t$ la même signification ; mais à la place du demi-grand axe $a,$ qui est ici négatif, nous écrivons $-\alpha \,;$ nous poserons ensuite comme ci-dessus, art. 21, l’excentricité $={\frac {1}{\cos \psi }}.$ Nous ferons la quantité auxiliaire exprimée par $u$ dans cet article, égale à ${\frac {\mathrm {C} }{c}}$ pour le premier lieu et à $\mathrm {C} c$ pour le second, d’où l’on conclut facilement que $c$ est toujours plus grand que 1, mais toutes choses égales, diffère d’autant moins de l’unité que les deux lieux proposés sont moins distants l’un de l’autre. Des équations développées dans l’art. 21, nous transportons ici, en modifiant un peu leur forme, la sixième et la septième :