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LIVRE I, SECTION III.
selon que 
est positif ou négatif, on a
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![{\displaystyle \alpha ={\frac {8\left[l-{\dfrac {1}{4}}\left({\sqrt {\overset {}{c}}}-{\sqrt {\dfrac {1}{c}}}\right)^{2}\right]\cos f\,{\sqrt {rr'}}}{\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25825b4824d14375ff417f5c07b02526b4970381)
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| [12∗]
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![{\displaystyle \alpha ={\frac {-8\left[\mathrm {L} +{\dfrac {1}{4}}\left({\sqrt {\overset {}{c}}}-{\sqrt {\dfrac {1}{c}}}\right)^{2}\right]\cos f\,{\sqrt {rr'}}}{\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d35ebbe46e9378b6a72749d2e616b8d611e04ba)
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Le calcul de la quantité 
ou 
est effectué ici, comme dans l’ellipse, avec le secours de l’angle auxiliaire 
On a enfin, d’après l’équation XI de l’art. 22 (en considérant les logarithmes hyperboliques),
ou, en éliminant 
au moyen de l’équation 8,
Nous substituons, dans cette équation, à la place de 
sa valeur
d’après 12, 12∗ ; nous introduisons ensuite la lettre 
ou 
avec la
même signification que leur assignent les formules 11, 11∗, art. 88 ;
et enfin, nous écrivons pour abréger,
De cette manière, on obtient les équations
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| [13∗]
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