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LIVRE I, SECTION III.
selon que
est positif ou négatif, on a
[12]
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[12∗]
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Le calcul de la quantité
ou
est effectué ici, comme dans l’ellipse, avec le secours de l’angle auxiliaire
On a enfin, d’après l’équation XI de l’art. 22 (en considérant les logarithmes hyperboliques),
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {kt}{\alpha ^{\frac {3}{2}}}}&={\frac {1}{2}}e\left(\mathrm {C} c-{\frac {1}{\mathrm {C} c}}-{\frac {\mathrm {C} }{c}}+{\frac {c}{\mathrm {C} }}\right)-\log \mathrm {C} c+\log {\frac {\mathrm {C} }{c}}\\&={\frac {1}{2}}e\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\left(c-{\frac {1}{c}}\right)-2\log c\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993c67cf9c15b64d7265f8b95ee7eaee75b77acb)
ou, en éliminant
au moyen de l’équation 8,
![{\displaystyle {\frac {kt}{\alpha ^{\frac {3}{2}}}}={\frac {\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)\cos f\,{\sqrt {rr'}}}{\alpha }}+{\frac {1}{2}}\left(c^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\right)-2\log c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1d2308e6ba0b393cdd6f4cb61d66140d04562c)
Nous substituons, dans cette équation, à la place de
sa valeur
d’après 12, 12∗ ; nous introduisons ensuite la lettre
ou
avec la
même signification que leur assignent les formules 11, 11∗, art. 88 ;
et enfin, nous écrivons pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {c}}-{\sqrt {\frac {1}{c}}}{\frac {}{}}\right)^{2}&=\!z,&{\frac {c^{2}-{\dfrac {1}{c^{2}}}-4\log c}{{\dfrac {1}{4}}\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)^{2}}}&=\mathrm {Z} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653394da4cdbd8a6da133bf0ee3238c072138818)
De cette manière, on obtient les équations
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[13∗]
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