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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

qui ne contiennent qu’une seule inconnue, puisqu’il est évident que $\mathrm {Z}$ est une fonction de $z$ exprimée par la formule suivante,

$\mathrm {Z} ={\frac {(1+2z){\sqrt {(z+z^{2})}}-\log \left({\sqrt {1+z}}+{\sqrt {z}}\right)}{2(z+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}.$

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En résolvant l’équation 13 ou 13^∗, nous considérerons d’abord séparément, le cas où $z$ n’atteint pas une valeur trop grande, de telle sorte que $\mathrm {Z}$ puisse être exprimé en série développée suivant les puissances croissantes de $z$ et convergeant rapidement.

Maintenant on a

${\begin{aligned}(1+2z){\sqrt {z+z^{2}}}&=z^{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{2}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {7}{8}}z^{\frac {5}{2}}\dots ,\\\log({\sqrt {1+z}}+{\sqrt {z}})&=z^{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {3}{40}}z^{\frac {5}{2}}\dots ,\end{aligned}}$

et par suite le numérateur de $\mathrm {Z} ={\frac {8}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {4}{5}}z^{\frac {5}{2}}\dots \,;$ et le dénominateur $=2z^{\frac {3}{2}}+3z^{\frac {5}{2}}\dots ,$ d’où

$\mathrm {Z} ={\frac {4}{3}}-{\frac {8}{5}}z\dots .$

Pour découvrir la loi de la progression, différentions l’équation

$2(z+z^{2})^{\frac {3}{2}}\mathrm {Z} =(1+2z){\sqrt {z+z^{2}}}-\log \left({\sqrt {1+z}}+{\sqrt {z}}\right),$

d’où l’on trouve, toutes réductions faites,

$2(z+z^{2})^{\frac {3}{2}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}+3\mathrm {Z} (1+2z){\sqrt {z+z^{2}}}=4{\sqrt {z+z^{2}}},$

ou

$(2z+2z^{2}){\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}=4-(3+6z)\mathrm {Z} ,$

d’où l’on déduit, de la même manière que dans l’art. 90,

$\mathrm {Z} ={\frac {4}{3}}-{\frac {4.6}{3.5}}z+{\frac {4.6.8}{3.5.7}}z^{2}-{\frac {4.6.8.10}{3.5.7.9}}z^{3}+{\frac {4.6.8.10.12}{3.5.7.9.11}}z^{4}-{\text{etc.}}$

Il est donc évident, que $\mathrm {Z}$ dépend de $-z,$ entièrement de la