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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.
qui ne contiennent qu’une seule inconnue, puisqu’il est évident que
est une fonction de
exprimée par la formule suivante,
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {(1+2z){\sqrt {(z+z^{2})}}-\log \left({\sqrt {1+z}}+{\sqrt {z}}\right)}{2(z+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5e689587df1b35e87c9f58ab63d211fdba0d6b)
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En résolvant l’équation 13 ou 13∗, nous considérerons d’abord séparément, le cas où
n’atteint pas une valeur trop grande, de telle
sorte que
puisse être exprimé en série développée suivant les puissances croissantes de
et convergeant rapidement.
Maintenant on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1+2z){\sqrt {z+z^{2}}}&=z^{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{2}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {7}{8}}z^{\frac {5}{2}}\dots ,\\\log({\sqrt {1+z}}+{\sqrt {z}})&=z^{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {3}{40}}z^{\frac {5}{2}}\dots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d122e99b9d65d46a55c89a5869aaadcd34cea184)
et par suite le numérateur de
et le dénominateur
d’où
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {4}{3}}-{\frac {8}{5}}z\dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79afcffd201beacf5090053bacae5b94118ab30)
Pour découvrir la loi de la progression, différentions l’équation
![{\displaystyle 2(z+z^{2})^{\frac {3}{2}}\mathrm {Z} =(1+2z){\sqrt {z+z^{2}}}-\log \left({\sqrt {1+z}}+{\sqrt {z}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad225418ed39304ae20f995065dd8bfd0282cb50)
d’où l’on trouve, toutes réductions faites,
![{\displaystyle 2(z+z^{2})^{\frac {3}{2}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}+3\mathrm {Z} (1+2z){\sqrt {z+z^{2}}}=4{\sqrt {z+z^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37a95796570295d7039f75fe92a29a1f06029d45)
ou
![{\displaystyle (2z+2z^{2}){\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}=4-(3+6z)\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88dd36295e68cb0310623a154f2f2c0d2fd45938)
d’où l’on déduit, de la même manière que dans l’art. 90,
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {4}{3}}-{\frac {4.6}{3.5}}z+{\frac {4.6.8}{3.5.7}}z^{2}-{\frac {4.6.8.10}{3.5.7.9}}z^{3}+{\frac {4.6.8.10.12}{3.5.7.9.11}}z^{4}-{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd63da5b11cf6877963080c0aa57277beedacac)
Il est donc évident, que
dépend de
entièrement de la