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DÉTERMINATION DE L’ORBITE D’APRÈS TROIS OBSERVATIONS COMPLÈTES.

égaux à zéro ou à 180 ; de là nous obtenons, d’après les équations de l’art. 143,

${\begin{aligned}{\frac {n'r'}{n}}&=\pm {\frac {\sin \varepsilon '}{\sin \varepsilon }}.{\frac {\mathrm {R} \sin \delta }{\sin(z+\mathrm {A'D} -\delta ')}},\\{\frac {n'r'}{n''}}&=\pm {\frac {\sin \varepsilon '}{\sin \varepsilon ''}}.{\frac {\mathrm {R''} \sin \delta ''}{\sin(z+\mathrm {A'D} ''-\delta ')}},\end{aligned}}$

$\mathrm {R} \sin \delta \sin \varepsilon ''\sin(z\!+\!\mathrm {A'D} ''\!\!-\!\delta ')=\mathrm {PR} ''\sin \delta ''\sin \varepsilon \sin(z\!+\!\mathrm {A'D} \!-\!\delta ').$

Il est d’après cela évident que $z$ peut être déterminé d’après $\mathrm {P}$ seul, indépendamment de $\mathrm {Q}$ (à moins qu’on n’ait, par hasard, $\mathrm {AD} ''=\mathrm {A'D}$ ou $=\mathrm {A'D} \pm 180^{\circ },$ ce qui nous ferait retomber dans le troisième cas) ; mais $z$ étant trouvé, $r'$ sera aussi connu, et par conséquent aussi les quantités ${\frac {n}{n'}},$ et ${\frac {n''}{n'}},$ au moyen des quantités ${\frac {n'r'}{n}},$ ${\frac {n'r'}{n''}}\,;$ et enfin, de là aussi,

$\mathrm {Q} =2\left({\frac {n}{n'}}+{\frac {n''}{n'}}-1\right)r'^{3}.$

Il est donc évident que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ ne peuvent être considérés comme des données indépendantes l’une de l’autre, mais représenteront ou une seule donnée ou des données incompatibles. La position des points $\mathrm {C,\,C} ''$ restera dans ce cas arbitraire, pourvu qu’ils soient pris dans le même grand cercle avec $\mathrm {C} '.$

Dans le troisième cas, où $\mathrm {A',\,B,\,B',\,B} ''$ se trouvent sur le même grand cercle, $\mathrm {D}$ et $\mathrm {D} ''$ coïncideront respectivement avec les points $\mathrm {B} '',$ $\mathrm {B}$ ou avec les points opposés ; on obtient de là, par la combinaison des équations VII, VIII, IX, art. 143,

$\mathrm {P} ={\frac {\mathrm {R} \sin \delta \sin \varepsilon ''}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''\sin \varepsilon }}={\frac {\mathrm {R} \sin(l'-l)}{\mathrm {R} ''\sin(l''-l')}}.$

Dans ce cas, la valeur de $\mathrm {P}$ s’obtient donc par les données mêmes du problème, et par conséquent la position des points $\mathrm {C,\,C',\,C} ''$ restera indéterminée.

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La méthode que nous avons exposée depuis l’art. 136, est en réalité principalement destinée à la détermination d’une orbite encore entièrement inconnue ; elle peut cependant être employée, également avec un grand succès, quand il s’agit de corriger une orbite