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LIVRE II, SECTION I.
Nous avons donc
![{\displaystyle 0=an+\beta n'r'+n'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d74c547e958d8c1c1b6d3c672b46add9b255bad)
équation qui, combinée avec celles-ci,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {n''}{n}},&\mathrm {Q} &=2\left({\frac {n+n''}{n'}}-1\right)r'^{3},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6804e8f6e631b2b2aa6dab5ab0a7a7842a4d7c2)
produit
![{\displaystyle {\frac {\beta (\mathrm {P} +1)}{\mathrm {P} +a}}r'^{4}+r'^{3}+{\frac {1}{2}}\mathrm {Q} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb98e452a257499cdca3c8e497f470adf1db056)
d’où nous pourrions obtenir la distance
pourvu qu’on n’ait pas
cas dans lequel on ne tire de là rien autre chose que
Au reste, quoiqu’on n’ait pas
(car nous tomberions dans le
troisième cas que l’on doit considérer dans l’article suivant), cependant
sera toujours une quantité très-petite, et par conséquent
devra nécessairement différer peu de
mais de là il est évident que
la détermination du coefficient
est très-incertaine, et par
suite, que la détermination de
ne sera d’aucune précision.
De plus, nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {n'r'}{n}}&=-{\frac {\mathrm {P} +a}{\beta }},&{\frac {n'r'}{n''}}&=-{\frac {\mathrm {P} +a}{\beta \,\mathrm {P} }}\,:\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630e0b0e3ebeac44c09be59c585e4e149fa40c40)
après cela, de la même manière que dans l’art. 143, sont facilement
développées les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}r\sin \zeta &=\quad {\frac {n'r'}{n}}.{\frac {\sin \gamma ''}{\sin \varepsilon '}}\sin(l''-l'),\\r''\sin \zeta ''&=-\,{\frac {n'r'}{n''}}.{\frac {\sin \gamma }{\sin \varepsilon '}}\sin(l'-l),\\r\sin(\zeta -\mathrm {AD} ')&=r''\mathrm {P} {\frac {\sin \gamma ''}{\sin \gamma }}\sin(\zeta ''-\mathrm {A''D} '),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e091e153f58c3ef10876648137f20505aa4edbc)
dont la combinaison avec les équations VIII et IX de l’art. 143 permettra
de déterminer les quantités
Les autres opérations
du calcul s’accordent avec celles décrites auparavant.
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Dans le second cas où
coïncide avec
coïncidera aussi avec
le même point ou avec son opposé. Où aura donc
et