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LIVRE II, SECTION I.

Nous avons donc

$0=an+\beta n'r'+n'',$

équation qui, combinée avec celles-ci,

${\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {n''}{n}},&\mathrm {Q} &=2\left({\frac {n+n''}{n'}}-1\right)r'^{3},\end{aligned}}$

produit

${\frac {\beta (\mathrm {P} +1)}{\mathrm {P} +a}}r'^{4}+r'^{3}+{\frac {1}{2}}\mathrm {Q} =0,$

d’où nous pourrions obtenir la distance $r',$ pourvu qu’on n’ait pas $\beta =0,$ cas dans lequel on ne tire de là rien autre chose que $\mathrm {P} =-a.$ Au reste, quoiqu’on n’ait pas $\beta =0$ (car nous tomberions dans le troisième cas que l’on doit considérer dans l’article suivant), cependant $\beta$ sera toujours une quantité très-petite, et par conséquent $\mathrm {P}$ devra nécessairement différer peu de $-a\,;$ mais de là il est évident que la détermination du coefficient ${\frac {\beta (\mathrm {P} +1)}{\mathrm {P} +a}}$ est très-incertaine, et par suite, que la détermination de $r'$ ne sera d’aucune précision.

De plus, nous aurons

${\begin{aligned}{\frac {n'r'}{n}}&=-{\frac {\mathrm {P} +a}{\beta }},&{\frac {n'r'}{n''}}&=-{\frac {\mathrm {P} +a}{\beta \,\mathrm {P} }}\,:\end{aligned}}$

après cela, de la même manière que dans l’art. 143, sont facilement développées les équations

${\begin{aligned}r\sin \zeta &=\quad {\frac {n'r'}{n}}.{\frac {\sin \gamma ''}{\sin \varepsilon '}}\sin(l''-l'),\\r''\sin \zeta ''&=-\,{\frac {n'r'}{n''}}.{\frac {\sin \gamma }{\sin \varepsilon '}}\sin(l'-l),\\r\sin(\zeta -\mathrm {AD} ')&=r''\mathrm {P} {\frac {\sin \gamma ''}{\sin \gamma }}\sin(\zeta ''-\mathrm {A''D} '),\end{aligned}}$

dont la combinaison avec les équations VIII et IX de l’art. 143 permettra de déterminer les quantités $r,$ $\zeta ,$ $r'',$ $\zeta ''.$ Les autres opérations du calcul s’accordent avec celles décrites auparavant.

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Dans le second cas où $\mathrm {B} ''$ coïncide avec $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {D} '$ coïncidera aussi avec le même point ou avec son opposé. Où aura donc $\mathrm {AD} '\!-\delta$ et $\mathrm {A} ''\mathrm {D} '\!-\delta ''$