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DÉTERMINATION D’UNE ORBITE D’APRÈS QUATRE OBSERVATIONS.

(Équations V et VI écrites pour tenir sur une ligne, voir la page de discussion)

équations I, II. Au reste, les moyens ne manqueront pas, même à l’analyste médiocrement exercé, pour abréger le calcul.

Dans ces opérations les quantités irrationnelles $\left(x'^{2}+a'^{2}\right)^{\frac {3}{2}},$ $\left(x''^{2}+a''^{2}\right)^{\frac {3}{2}}$ sont facilement calculées, en introduisant les arcs $z',\,z''$ dont les tangentes sont respectivement ${\frac {a'}{x'}},\,{\frac {a''}{x''}}\,;$ de là, il vient

${\begin{alignedat}{4}{\sqrt {x'^{2}+a'^{2}}}&=r'&{}={}&{\frac {a'}{\sin z'}}&{}={}&{\frac {x'}{\cos z'}},\\[0.75ex]{\sqrt {x''^{2}+a''^{2}}}&=r''&{}={}&{\frac {a''}{\sin z''}}&{}={}&{\frac {x''}{\cos z''}},\end{alignedat}}$

Ces arcs auxiliaires, qui doivent être pris entre 0 et 180° pour que $r'$ et $r''$ deviennent positifs, seront évidemment identiques avec les arcs $\mathrm {C'F} ,$ $\mathrm {C''B} '',$ d’où il est clair que de cette manière on connaîtra non-seulement $r'$’ et $r'',$ mais aussi la position des points $\mathrm {C} '$ et $\mathrm {C} ''.$

Cette détermination des quantités $x',\,x''$ exige que $a',\,a'',$ $b',\,b'',$ $c',\,c'',$ $d',\,d'',$ $\mathrm {Q',\,Q} ''$ soient connues ; les quatre premières de ces quantités s’obtiennent, par le fait, des données du problème, mais les quatre suivantes dépendent de $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {P} ''.$ Les quantités $\mathrm {P',\,P} '',$ $\mathrm {Q',\,Q} ''$ ne pourront pas encore être exactement déterminées ; cependant puisque l’on a

III.

$\mathrm {P} '={\frac {t''-t'}{t'-\;t\;}}.{\frac {(\eta 01)}{(\eta 12)}},$

IV.

$\mathrm {P} ''={\frac {t''-t'}{t'''-t''}}.{\frac {(\eta 23)}{(\eta 12)}},$

V.

$\mathrm {Q} '={\frac {{\dfrac {1}{2}}k^{2}(t'-t)(t''-t'){\dfrac {r'^{2}}{rr''}}}{(\eta 01)(\eta 12)\cos {\dfrac {1}{2}}(v'\!-\!v)\cos {\dfrac {1}{2}}(v''\!-\!v)\cos {\dfrac {1}{2}}(v''\!-\!v')}},$

VI.

$\mathrm {Q} ''={\frac {{\dfrac {1}{2}}k^{2}(t''-t')(t'''-t''){\dfrac {r''^{2}}{r'r'''}}}{(\eta 12)(\eta 23)\cos {\dfrac {1}{2}}(v''\!-\!v')\cos {\dfrac {1}{2}}(v'''\!-\!v')\cos {\dfrac {1}{2}}(v'''\!-\!v'')}},$

aussitôt se présentent les valeurs approchées,

${\begin{aligned}\mathrm {P} '&={\frac {t''-t'}{t'-t}},&\mathrm {P} ''&={\frac {t''-t'}{t'''-t''}},\\\mathrm {Q} '&={\frac {1}{2}}k^{2}(t'-t)(t''-t'),&\mathrm {Q} ''&={\frac {1}{2}}k^{2}(t''-t')(t'''-t''),\end{aligned}}$

sur lesquelles sera basé le premier calcul.