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Ceux des six plans qui seront menés par les arêtes opposées de la pyramide se couperont deux à deux dans trois droites, dont chacune passera :

1 °. Par le centre commun de gravité du parallélépipède, et des deux pyramides inscrites ;

2°. Par les centres de gravité, de deux faces parallèles du parallélépipède, et chacune d’elles sera une des trois diagonales de l’octaèdre, qui est le noyau commun aux deux pyramides conjuguées.

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sur la solidité de la pyramide.

Théorême I.

En représentant par $A$, $B$, $C$, les longueurs des trois arêtes d’un parallélépipède, contiguës au sommet d’un même angle, et par $a$, $b$, $c$, les angles que forment entr’elles ces trois arêtes considérées deux à deux, on démontre facilement que la solidité du parallélépipède est exprimée par

$ABC{\sqrt {1-\cos ^{2}a-\cos ^{2}b-\cos ^{2}c+2\cos a.\cos b.\cos c}}.$

Nous savons d’ailleurs que les trois arêtes $A$, $B$, $C$, du parallélépipède sont respectivement égaies aux trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées de la pyramide inscrite, et que les trois angles que forment entr’elles ces trois droites, sont respectivement égaux aux trois angles $a$, $b$, $c$, formés par les arêtes du parallélépipède. Cela donne lieu à la proposition suivante :

Théorême II.

Dans une pyramide triangulaire, si l’on représente par $A$, $B$, $C$, les longueurs des trois droites menées par les milieux des arêtes opposées, et par $a$, $b$, $c$, les angles que forment entr’elles ces trois droites considérées deux à deux, la solidité de la pyramide est exprimée par

${\frac {1}{3}}ABC{\sqrt {1-\cos ^{2}a-\cos ^{2}b-\cos ^{2}c+2\cos a.\cos b.\cos c}}.$

où il faut remarquer que les six quantités $A$, $B$, $C$, $a$, $b$, $c$, sont communes aux deux pyramides conjuguées.

De même, en représentant par $A'$, $B'$, $C'$, les trois distances