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Journal de l’Ecole (page 182), un mémoire remarquable, et par la notation et par l’élégance des formules ; je me suis proposé d’arriver à ces mêmes formules par des considérations géométriques et d’éviter les opérations de calcul.

La notation de M. François consiste à représenter un angle de deux axes, par exemple, de l’axe des $x$ et de l’axe des $y$, par une parenthèse qui renferme ces deux lettres ; ainsi ($x$, $y$) signifie, angle de l’axe des $x$ et de l’axe des $y$ ; ($xy$, $yz$) signifie, angle de deux plans, l’un $xy$, mené par les axes des $x$ et $y$, l’autre $yz$ mené par les axes des $y$ et $z$ ; enfin ($x$, $yz$) est l’angle d’un axe tel que celui des $x$ avec le plan $yz$.

Cette notation étant adoptée, voici les formules de M. François, pour la transformation des coordonnées rectangulaires en d’autres coordonnées obliques.

$x$, $y$, $z$, sont les coordonnées rectangulaires, et $x'$, $y'$, $z'$, les nouvelles coordonnées obliques.

$({E}){\begin{cases}x=x'\cos(x',x)+y'\cos(y',x)+z'\cos(z',x)\\y=x'\cos(x',y)+y'\cos(y',y)+z'\cos(z',y)\\z=x'\cos(x',z)+y'\cos(y',z)+z'\cos(z',z)\end{cases}}$

Ces expressions de $x$, $y$, $z$, ont l’avantage de faire voir que l’une quelconque, $x$ par exemple, est composée de trois parties, et que chacune de ces parties est la projection d’une des trois nouvelles coordonnées sur l’axe des $x$. Pour expliquer ce qu’on entend par projection d’une droite sur une autre droite, que l’on conçoive une droite menée de l’origine des coordonnées au point dans l’espace que je désigne par ($w$) ; on arrive à ce point, ou par les trois coordonnées rectangulaires $x$, $y$, $z$, ou par les trois coordonnées obliques $x'$, $y'$, $z'$, en sorte que la droite qui va de l’origine des coordonnées au point ($w$) est le quatrième côté d’un premier quadrilatère gauche, dont les trois autres sont $x$, $y$, $z$, ou d’un deuxième quadrilatère gauche dont les autres côtés sont $x'$, $y'$, $z'$ ; mais l’extrémité de $x$ est effectivement l’intersection de l’axe des $x$ avec un plan mené par le point ($w$) parallèlement à celui des $yz$ ; c’est ce point d’intersection que je nomme projection de ($w$) sur l’axe des $x$, et la projection d’une droite, sur une autre droite, est la partie de cette seconde droite comprise entre les projections des extrémités de la première ; projetant de la même manière, c’est-à-dire parallèlement au plan des $yz$, les extrémités des $x'$, $y'$, $a'$, la somme des trois projections de ces coordonnées sera égale à la projection de la droite, qui va de l’origine des coordonnées à l’extrémité de $z'$. Mais la projection de cette droite sur l’axe des $x$, a pour lon-