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gueur $x$ ; les projections de $x'$, $y'$, $z'$ ont évidemment pour expressions

$x'\cos(x',x),$

$y'\cos(y',x),$

$z'\cos(z',x):$

donc on peut écrire directement les équations ($E$).

Une observation de M. Binet (répétiteur à l’Ecole Polytechnique), sur la composition des forces, ne m’avoit laissé aucun doute sur la possibilité d’appliquer la même propriété des projections à la transformation décoordonnées obliques en d’autres coordonnées obliques ; en effet soient $x'$, $y'$, $z'$, les coordonnées d’un point $(w)$, $x'$ étant compte sur l’axe des $x'$, $y'$ étant parallèle à l’axe des $y'$ ; et $z'$ parallèle à l’axe des $z'$, la droite qui va de l’origine des coordonnées au point $(w)$ est le quatrième côté d’un quadrilatère dont les trois autres côtés sont $x'$, $y'$, $z'$ ; si au lieu de $x'$, $y'$, $z'$, on conçoit trois nouvelles coordonnées $x''$, $y''$, $z''$, allant de l’origine des coordonnées au même point $(w)$, il est évident que la projection du quatrième côte du quadrilatère sur l’un des axes, est égale à la somme des projections des trois autres côtés $x'$, $y'$, $z'$ ou $x''$, $y''$, $z''$ ; la projection se faisant par des plans parallèles aux deux autres axes ; ainsi la projection de la droite qui joint l’origine des coordonnées et le point $(w)$, sur l’axe des $x'$, a pour longueur $x'$ ; elle est égale à la somme des projections des trois droites $x'$, $y'$, $z'$ ou $x''$, $y''$, $z''$ sur le même axe des $x'$, ces projections étant faites comme celle du point $(w)$, par des plans parallèles au même plan ($y'z'$).

On m’a fait remarquer que la proposition dont je faisois usage pour un quadrilatère, s’appliquoit à un polygone quelconque fermé ; en sorte qu’ayant un système quelconque de points, joints deux à deux par des droites, et une droite fixe sur laquelle on projette ces points par des plans parallèles à un seul et même plan, la projection du polygone formé par les droites qui unissent ces points donnés, est égale à la somme des projections des côtés du polygone, en ayant égard aux signes de ces projections ; signes qui peuvent être positifs ou négatifs. Ce théorème sur les projections est aussi général que celui dont M. Poisson a fait usage pour démontrer plusieurs théorêmes de dynamique. (Voyez le premier volume de la Correspondance, page 387.)

Avant d’aller plus loin, j’observerai sur les équations $(E)$, qu’on a entre les coefficiens de $x'$, $y'$, $z'$, dans ces trois équations, les relations suivantes

$({E}){\begin{cases}\cos(x',x)^{2}+y'\cos(x',y)^{2}+z'\cos(x',z)^{2}=1\\\cos(y',x)^{2}+y'\cos(y',y)^{2}+z'\cos(y',z)^{2}=1\\\cos(z',x)^{2}+y'\cos(z',y)^{2}+z'\cos(z',z)^{2}=1\end{cases}}$