Page:Hachette - Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2, 1813.djvu/19

(9)

et si l’on passe d’un système de coordonnées rectangulaires à un autre système de même espèce, alors les axes des $x'$, des $y'$, des $z'$, sont rectangulaires, et on aura les trois autres relations :

$\cos(x',x)^{2}+\cos(y',x)^{2}+\cos(x',x)^{2}=1.$
$\cos(x',y)^{2}+\cos(y',y)^{2}+\cos(z',y)^{2}=1.$
$\cos(x',z)^{2}+\cos(z',z)^{2}+\cos(z',z)^{2}=1.$

Reprenons les équations de M. François, pour la transformation des coordonnées obliques en d’autres coordonnées obliques ;

$({F}){\begin{cases}x'\sin(x',y'z')=x''\sin(x'',y'z')+y''\sin(y'',y'z')+z''\sin(z'',y'z')\\y'\sin(y',x'z')=x''\sin(x'',x'z')+y''\sin(y'',x'x')+z''\sin(z'',x'z')\\z'\sin(z',x'y')=x''\sin(x'',x'y')+y''\sin(y'',x'y')+z''\sin(z'',x'y')\end{cases}}$

$x',y',z'$ sont les coordonnées primitives, et $x'',y'',z''$ les coordonnées nouvelles.

La première des équations $(F)$ fait voir que la valeur de $x'$ est composée de trois parties ; savoir :

$x''{\frac {\sin(x'',y'z')}{\sin(x',y'x')}}$

$y''{\frac {\sin(y'',y'z')}{\sin(x'',y'z')}}$

$z''{\frac {\sin(z'',y'z')}{\sin(x'',y'z')}};$

or, ces trois quantités sont les valeurs des projections de $x'',y'',z''$, sur l’axe des $x'$, par des plans parallèles au plan des $(y'z')$.

En effet, soient $AB$ et $AC$ (Fig. I, pl. 1) les axes des $y'$ et des $z'$; le plan de ces deux droites sera celui des $(y'z')$. Quelles que soient les projections orthogonales des deux axes $x'$ et $x''$ sur le plan des $(y'z')$, si les angles qu’ils font avec ce plan est constant, la longueur de la projection d’un $x'$ quelconque sur l’axe $x''$, ou d’un $x''$ quelconque sur l’axe $(x')$, ne dépendra que de ces angles (on suppose que la projection de $x'$ ou $x''$ soit faite par un plan parallèle à celui des $(y'z')$). En effet, l’axe des $(x'')$ étant fixe, qu’on fasse tourner l’axe des $(x')$ de telle manière que son angle avec le plan des $(y'z')$ ne change pas, elle engendrera une surface conique droite, dont la base circulaire sera parallèle au plan des $(y'z')$ ; si par l’extrémité d’un $z''$ quelconque, on mène un plan parallèle à ce dernier plan, il coupera la surface conique droite suivant un cercle, et chacune des arêtes du cône comprise entre ce cercle et l’origine des coordonnées qui est le sommet du cône, sera une projection de $x''$ sur l’axe des $(x')$ : or, toutes ces arêtes sout égales ; donc