En combinant ces trois équations de conditions avec les équations , on pourra transformer les coordonnées obliques , en coordonnées rectangulaires ; ces valeurs de , doivent coïncider, dans ce cas, avec celles qu’on déduirait des équations , en prenant ces valeurs de , en fonctions de .
Enfin, s’il s’agissoit de transformer des coordonnées rectangulaires en d’autres coordonnées rectangulaires, les neuf constantes des équations réduites à six par les trois dernières équations de conditions, se réduiroient à trois ; car on auroit de plus :
d’où l’on voit que, par les équations , on peut opérer les trois transformations de rectangulaires en rectangulaires, de rectangulaires en obliques, ou d’obliques en rectangulaires, et enfin d’obliques en obliques.
Les équations et donnent le moyen de transformer un systême de coordonnées rectangulaires en un autre système de même espèce ; mais elles supposent que les angles des axes primitifs, avec les nouveaux, soient connus : or ces angles ne sont pas toujours donnés directement ; et la mécanique en offre des exemples. Il faut alors calculer les valeurs des lignes trigonométriques de ces angles, en fonction des quantités connues. Ex. : étant les coordonnées rectangulaires primitives, et les coordonnés nouvelles du même point, on donne : 1°. l’angle du plan avec le plan ; 2°. l’angle de l’intersection de ces deux plans et de l’axe des ; 3°. de l’angle de cette même intersection et de l’axe des .
Il s’agit maintenant de trouver les coefficiens qui entrent dans les équations (E) en fonction de , et .
Cherchons d’abord les cosinus
Remarquons qu’en nommant la droite intersection des deux plans et , l’axe des et , et la droite forment un triangle sphérique dont on connoît deux faces et l’angle compris ; l’angle de l’axe et de est ; l’angle de et de l’axe des est ; l’angle des deux côtés et , est ; donc par la formule (page 275 du premier volume de cette Correspondance), qui donne un côté, au moyen de deux autres côtés,
