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et de l’angle qu’ils font entr’eux, on aura :

$\cos(x,x')=\cos \psi \cos \varphi +\sin \psi \sin \psi \cos \theta .$

L’axe des $(y)$, l’axe des $(x')$ et la droite $(I)$ forment un second triangle sphérique, qui ne diffère du premier que par le côte $(\psi )$, qui devient + 90°, ce qui change $\sin \psi$ en $\cos \psi$ et $\cos \psi$ en — $\sin \psi$ ; donc on aura

$\cos(y,x')=-\sin \psi \cos \varphi +\cos \sin \psi \cos \theta .$

L’axe des $(z)$, l’axe des $(x')$, et la droite $(I)$ forment un triangle sphérique qui diffère du premier, et par le côté qui devient 90°, parce que l’axe $(z)$ est perpendiculaire à la droite $(I)$, et par l’angle $\theta$ qui devient (90° — $\theta$), parce que le plan $(Ix')$ fait avec le plan $(Iz)$ un angle complément de $\theta$, donc $\sin \psi =1$, $\cos \psi =0$, $\cos \theta$ devient $sin\theta$, et on a

$\cos(z,x')=-\sin \varphi \sin \theta .$

Par des considérations semblables, on trouve les valeurs de

$\cos(x,y'),\cos(y,y'),\cos(z,y').$

La droite $(I)$ forme avec les deux axes $(x)$ et $(y')$, et avec les deux axes $(y)$ et $(y')$ deux triangles sphériques dont on connoît deux faces et l’angle compris $(\theta )$.

La droite $(I)$ et les deux axes des $(z)$ et $(y')$ forment un triangle sphérique dont un côté est 90° + $\varphi$, l’autre côté est 90°, et l’angle compris entre ces deux côtés est 90° – $\theta$ ; ce qui donne

$\cos(x,y')=\cos \theta \sin \psi \cos \varphi -\cos \psi \sin \varphi .$

$\cos(y,y')=\cos \theta \cos \psi \cos \varphi +\sin \psi \sin \varphi .$

$\cos(z,y')=-\sin \theta \cos \psi .$

Enfin les deux triangles sphériques, formés par la droite (I), et les deux axes des (x) et (z"), et par la même droite (1), avec les deux axes des () et ( :’), donnent

$\cos(x,z')=\sin \theta \sin \psi .$

$\cos(y,z')=\sin \theta \cos \psi .$

Et d’ailleurs, il est évident que les plans $(xy)$ et $(x'y')$ font entr’eux le même angle que les axes $(z)$ et $(z')$ ; donc $\cos(z,z')=\cos \theta$.

C’est d’après cette méthode que M, Poisson a donné, dans ses