une position quelconque, par une autre surface qui a aussi pour génératrice une ligne droite, et pour directrices trois autres lignes droites ; cette dernière surface, que nous nommons surface gauche du second degré, est l’hyperboloïde à une nappe, que nous avons fait connoître dans notre application de l’Algèbre à la Géométrie (page 32). Dans ce même ouvrage (page 50), j’ai donné une démonstration analytique de la proposition qu’on vient d’énoncer, et qui est importante par les nombreuses applications qu’on en fait dans les arts graphiques.
Il résulte de cette proposition que, lorsque deux surfaces réglées, c’est-à-dire sur lesquelles on peut appliquer l’arête d’une règle dans le sens de la génératrice, ont trois plans tangens communs suivant la même génératrice, elles sont tan gentes l’une à l’autre, de telle manière que le plan tangent à L’une suivant la génératrice qui leur est commune, est aussi tangent à l’autre. J’ai fait voir dans mon Cours de Coupe des Pierres, comment on pouvoit, d’après cette conséquence, raccorder les deux surfaces réglées de l’arrière voussure de Marseille.
Nous allons faire une autre application de ce théorême, pour déterminer sur la surface d’une vis à Gilets triangulaires, la ligne de séparation d’ombre et de lumière, dans l’hypothèse où les rayons de lumière sont parallèles entr’eux. J’ai fait construire cette courbe par M. Girard ; la planche ci-jointe est exécutée d’après son dessin.
La droite mobile qui engendre la surface du filet d’une vis triangulaire, passe constamment par l’axe d’un cylindre droit à basse circulaire ; elle fait avec cet axe un angle constant, et s’appuie sur une hélice tracée sur le cylindre droit ; tous les points de la droite mobile décrivent des hélices tracées sur des cylindres droits qui ont un axe commun et dont les rayons vont en décroissant jusqu’à cet axe, qui est lui-même une des helices ; or, les tangentes à ces helices menées de tous les points d’une même génératrice, appartiennent évidemment à une sur face réglée, qui touche la surface du filet suivant la droite qui leur est commune : deux quelconques de ces tangentes, et l’axe, sont les directrices de la droite qui engendre la surface tangente au filet ; de plus, toutes les tangentes aux hélices sont parallèles à un même plan ; donc la surface tangente au filet est un paraboloïde hyperbolique. (Voyez page 45 de notre application d’Algèbre à la Géométrie.)
Si on conçoit pour chaque position de la génératrice de la surface du filet, la paraboloïde tangent à cette surface, le plan mené par la génératrice parallèlement au rayon de lumière,
