Page:Hachette - Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2, 1813.djvu/28

(18)

voit être simplifié par la considération suivante : « Ayant un systême de droites parallèles entr’elles, qui servent de cordes à la surface du second degré, il existe un plan perpendiculaire à ces cordes, qui les divise toutes en parties égales, et ce plan est évidemment un des plans rectangulaires de la surface. »

Prenons pour l’équation générale des surfaces du second degré :

$({1}){\begin{Bmatrix}ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+eyz+fxz\\+gx+dy+kz+1\\\end{Bmatrix}}=0$

et soient

$({2}){\begin{cases}x=az+\beta \\y=a'z+\beta '\\\end{cases}}$

les équations d’une droite qui coupe la surface du second degré en deux points ; on obtiendra les coordonnées de ce point, en combinant ces équations avec l’équation générale $(1)$, et faisant pour abréger

$a\alpha x^{2}+b\alpha ^{2}+d\alpha \alpha '+e\alpha '+f\alpha +c=A.$

${\begin{Bmatrix}za\alpha \beta +2b\alpha '\beta '+d(\alpha \beta '+\alpha '\beta )+\alpha \beta '+f\beta +g\alpha \\+h\alpha '+k\end{Bmatrix}}=B.$

$a\beta x^{2}+b\beta ^{2}+d\beta \beta '+g\beta +h\beta '+1=C.$

L’ordonnée $Z$ du point d’intersection sera donnée par l’équation $Az^{2}+Bz+C=0$ ; les deux valeurs de $z$, tirées de cette équation, sont :

$-{\frac {B}{2A}}+{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4A^{2}}}-C}}$ pour la première,

et $-{\frac {B}{2A}}-{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4A^{2}}}-C}}$ pour la deuxième ;

Donc l’ordonnée $Z'$ du milieu de la droite qui joint les deux points d’intersection, est $-{\frac {B}{2A}}$.

Nommant $X'$, $Y'$, les deux autres coordonnées du même point, on aura par les équations $(2)$

$({3}){\begin{cases}X'=\alpha Z'+\beta \\Y'=\alpha 'Z'+\beta '\\Z'=-{\frac {B}{2A}}\end{cases}}$

regardant $X'$, $Y'$ $Z'$ comme des coordonnées variables, dont la valeur dépend des quantités $\beta$ et $\beta '$, si, entre ces trois équa-