Page:Hachette - Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2, 1813.djvu/35

(25)

gera, la tangente commune et le diamètre qui lui est perpendiculaire changeront aussi de position, et deviendront des axes mobiles, dont la position à chaque instant sera connue ; les projections des deux perpendiculaires abaissées d’un point du cercle mobile sur ses axes se couperont en un point qui appartiendra à la projection de l’épicycloïde ; au lieu de considérer chaque point du cercle mobile comme l’intersection de deux coordonnées rectangulaires, si on le regardoit comme l’intersection de l’une de ces coordonnées et d’un rayon, les projections de ces deux dernières droites détermineroient encore un point de l’épicycloïde : or, la projection d’un rayon du cercle mobile se construit facilement, en observant que son centre décrit un cercle qui se projette suivant un cercle égal, et que le rayon prolongé coupe la tangente commune aux deux cercles, en un point qui est le plan même de projection.

De la Tangente à l’Epicycloïde sphérique.

Théorême.

Si pour un point quelconque d’une épicycloïde sphérique on conçoit le cercle mobile auquel il appartient, la droite qui toucheroit l’épicycloïde qu’on obtiendroit, dans le cas où les deux cercles, l’un fixe et l’autre mobile, seroient dans le même plan, est la projection de la tangente à l’épicycloïde sphérique sur le plan du cercle mobile, quelle que soit d’ailleurs l’inclinaison du plan de ce dernier cercle par rapport — au premier.

Corollaire.

Ayant prouvé (fig. 2) que la tangente $MD$ à l’épicycloïde plane $TM$, en un point quelconque $M$ placé sur le cercle mobile $BMD$, passoit par l’extrémité $D$ du diamètre de ce cercle, perpendiculaire à la tangente commune $cBd$, il s’ensuit que la même droite $MD$ est la projection de la tangente à l’épicycloïde sphérique, au point $M$, sur le plan du cercle mobile $BMD$.

Pour démontrer le Théorême, il faut observer que si le point $M$ d’une épicycloïde plane tend à décrire un arc de cercle dont le point $B$ est le centre, et la droite $BM$ le rayon, le même point $M$ considéré comme appartenant à une épicycloïde sphérique tend à décrire une sphère dont le point $B$ est le centre, et la droite $BM$ le rayon ; donc le plan tangent à cette sphère contient la tangente à l’épicycloïde ; or ce plan se projette sur celui du cercle mobile suivant la droite $MD$ per-