Page:Hachette - Correspondance sur l’École Royale Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, tome 2, 1813.djvu/36

(26)

pendiculaire à $BM$, donc $MD$ est la projection de la tangente à l’épicycloïde sphérique.

---

Construction de la Tangente à l’Epicycloïde sphérique.

On a vu que le rayon de la sphère sur laquelle l’épicycloïde est tracée, est égal à la distance d’un point quelconque de cette courbe au point de rencontre des perpendiculaires aux plans des cercles fixe et mobile, élevées par les centres de ces cercles ; d’où il suit qu’en menant par le point de l’épicycloïde un plan perpendiculaire à ce rayon, ce plan contiendra la tangente à l’épicycloïde ; de plus on vient de démontrer que le plan tangent à la sphère qui a pour rayon la distance du point de l’épicycloïde au point de contact des cercles fixe et mobile, contenoit la même tangente ; donc cette tangente est l’intersection de deux plans connus de position, donc elle est déterminée.

Soit $ABC$ (fig 3) le cercle fixe tracé sur le plan horizontal ; $BMD$, le cercle mobile dans une position quelconque, et recouché sur le plan horizontal ; $VBd$, l’angle du plan de ce dernier cercle par rapport au premier, $M$ le point de l’épicycloïde sur le cercle mobile, et $M'$ ce point projeté sur le plan du cercle fixe ; il s’agit de construire la tangente $M'Y$ à la projection de l’épicycloïde : ayant mené $dY$ perpendiculaire à $Bd$, et prolongé $MD$ jusqu’au point $T$, intersection de cette droite $MD$, et de la tangente commune $BT$, la droite $TV$ est la trace horizontale du plan tangent à la sphère qui a pour centre le point $B$, et pour rayon la droite $BM$.

Mais la tangente demandée se trouve sur un autre plan tangent à la sphère qui a pour centre le point $a'$, intersection des deux droites $Aa'$, $a'a$ perpendiculaires sur $AB$ au point $A$, et sur le milieu $a$ de $Bd$ ; or, ce plan passe par la tangente $MU$ du cercle mobile, qui coupe le plan horizontal au point $U$ de la trace horizontale $BT$ ; donc, si de ce point $U$ on abaisse une perpendiculaire $UX$ sur la projection $AM'$ du rayon qui correspond au point du contact de la sphère et du plan, le point $X$ intersection des traces $VTX$ et $UX$, sera un point de la tangente à la projection horizontale de l’épicycloïde ; donc $XY$ sera cette tangente ; menant $YY'$ perpendiculaire à $BV$, la droite $TY'$ sera la tangente à la projection de la courbe sur le plan vertical $ABV$.

En supposant le cercle horizontal $ABC$, transporté en $A'B'C'$, et le plan incliné $Bd$ en $B'd'$, la nouvelle figure