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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

solution périodique

$x_{1}=\varphi _{1}(t),\quad x_{2}=\varphi _{2}(t),\quad \ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(t),$

qui correspond à $\mu =0$ et qui nous sert de point de départ, on a pour $t=\mathrm {T}$ (et par conséquent encore pour toutes les valeurs de $t$)

${\frac {dx_{1}}{dt}}={\frac {dx_{2}}{dt}}=\ldots ={\frac {dx_{n}}{dt}}=0,$

de sorte que $\varphi _{1}(t),\,\varphi _{2}(t),$ $\ldots ,\,\varphi _{n}(t)$ seraient des constantes, ce que nous ne supposerons pas.

D’autre part, je dis que

${\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}={\frac {d\psi _{3}}{d\tau }}=\ldots ={\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}=0.$

Nous avons, en effet, comme on l’a vu plus haut, page 91

${\frac {d\psi _{1}}{d\tau }}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}+{\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}+\ldots +{\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

Or ${\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}=0\,;$ nous avons donc une série d’équations linéaires

${\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}+\ldots +{\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}=0\quad (i=2,\,3,\,\ldots ,\,n),$

et, comme le déterminant de ces équations (c’est-à-dire $\delta$) n’est pas nul, il vient

${\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}={\frac {d\psi _{3}}{d\tau }}=\ldots ={\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}=0.$

Comme nous avons exclu le cas où $\varphi _{1}(t),$ $\varphi _{2}(t),$ $\ldots ,$ $\varphi _{n}(t),$ sont des constantes, cas qui sera examiné à part, au n^o 68, nous en concluons que

${\frac {d\psi _{1}}{d\tau }}\gtrless 0.$ C.Q.F.D.

Ainsi, si les équations différentielles ne contiennent pas le temps explicitement, si elles admettent une solution périodique pour $\mu =0,$ l’un des exposants caractéristiques de cette solution sera toujours nul ; si, de plus, aucun autre de ces exposants n’est nul, il y aura encore une solution périodique pour les petites valeurs de $\mu .$