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CHAPITRE IV.

quand le temps n’entre pas explicitement. Si de plus il y a une intégrale $\mathrm {F} ,$ on aura, comme au n^o 64,

$\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}\right]=\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}\right],$

et, en différentiant cette relation par rapport à $\beta _{i}$ et à $\tau ,$ il viendra

${\begin{array}{c}{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{i}}}+{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{i}}}+\ldots +{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{i}}}=0\\(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n),\end{array}}$

${\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\tau }}+{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}{\dfrac {d\psi _{2}}{d\tau }}+\ldots +{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}{\dfrac {d\psi _{n}}{d\tau }}=0.$

On en conclura ou bien que l’on a à la fois

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}=0$

pour tous les points de la solution périodique, ou bien que tous les déterminants contenus dans la matrice

$\left|\left|{\begin{array}{ccccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\tau }}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\tau }}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\tau }}\\\end{array}}\right|\right|$

sont nuls à la fois.

Or nous avons vu, au n^o 63, que cela ne peut avoir lieu que si deux exposants caractéristiques s’annulent.

67.Je me propose maintenant d’établir ce qui suit :

Supposons encore que le temps n’entre pas explicitement dans nos équations différentielles ; supposons que ces équations admettent $p$ intégrales analytiques et uniformes et où le temps n’entre pas non plus explicitement. Soient $\mathrm {F} _{1},$ $\mathrm {F} _{2},$ $\ldots ,$ $\mathrm {F} _{p}$ ces $p$ intégrales.

Alors, ou bien $p+1$ exposants caractéristiques seront nuls, ou