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CHAPITRE IV.

les quantités $\alpha$ devront être deux à deux égales et de signe contraire. C.Q.F.D.

Nous reviendrons sur ce point au n^o 70.

70.Les équations (1) du numéro précédent admettent toujours l’intégrale dite des forces vives

$\mathrm {F} =\mathrm {const.}$

Je suppose qu’elles admettent, en outre, $p$ intégrales uniformes

$\mathrm {F} _{1}=\mathrm {const.} ,\quad \mathrm {F} _{2}=\mathrm {const.} ,\quad \ldots ,\quad \mathrm {F} _{p}=\mathrm {const.}$

Je suppose, de plus, que les crochets deux à deux de ces intégrales soient nuls, c’est-à-dire que

$\left[\mathrm {F} _{i},\,\mathrm {F} _{k}\right]=0\quad (i,k=1,\,2,\,\ldots ,\,p).$

On sait d’ailleurs que, pour une intégrale quelconque $\mathrm {F} _{i}$ on a

$\left[\mathrm {F} ,\,\mathrm {F} _{i}\right]=0.$

Je me propose de démontrer que, dans ce cas, ou bien tous les déterminants fonctionnels de $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {F} _{1},$ $\mathrm {F} _{2},$ $\ldots ,$ $\mathrm {F} _{p},$ par rapport à $p+1$ quelconques des variables $x_{i}$ et $y_{i},$ sont nuls à la fois en tous les points de la solution périodique ; ou bien $2p+2$ exposants caractéristiques sont nuls.

En effet, reprenons les équations (2) du n^o 56, c’est-à-dire les équations aux variations des équations (1). Soit

$\xi _{i},\quad \eta _{i}$

une solution particulière de ces équations (2) ; appelons $\mathrm {S}$ cette solution ; soit $\xi '_{i},\,\eta '_{i}$ une autre solution de ces mêmes équations ; appelons $\mathrm {S} '$ cette solution.

Nous savons qu’on a

$\sum \left(\xi _{i}\eta '_{i}-\xi '_{i}\eta _{i}\right)=\mathrm {const.}$

J’appellerai $(\mathrm {S} ,\,\mathrm {S} ')$ le premier membre de cette relation.

Parmi les solutions des équations proposées, nous avons vu au n^o 59 qu’il y en a dont la forme est remarquable. Pour les unes, chacune des quantités $\xi _{i}$ et $\eta _{i}$ est égale à une exponentielle $e^{\alpha t}$