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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
il en résulte que le déterminant est divisible par et,
par conséquent, que l’équation a quatre racines nulles.
Dans quel cas peut-elle en avoir plus de quatre ?
Pour nous en rendre compte, divisons les lignes 1 et et les
colonnes et par et faisons ensuite
Dans quel cas le déterminant ainsi obtenu et qui sera égal à
sera-t-il nul ?
Nous pouvons également diviser le déterminant par
en supprimant les lignes 1, et et les colonnes de
même numéro. Si l’on fait ensuite on voit que tous les éléments
sont nuls, sauf ceux qui appartiennent à l’une des
dernières colonnes subsistantes, et à l’une des premières
lignes, ou inversement à l’une des premières colonnes et à
une des dernières lignes.
Ainsi le déterminant est égal, à une puissance de près, au
produit de deux hessiens, à savoir :
1o Le hessien de par rapport à
2o Et le hessien de par rapport à
Si aucun de ces deux hessiens n’est nul, l’équation
n’aura pas plus de quatre racines nulles et il n’y aura certainement
pas plus de quatre exposants caractéristiques qui soient nuls.
Que devient cette condition quand on suppose que les variables
sont quelconques et que les conditions (1) et (2) du numéro précédent
ne sont pas remplies ?
Dans ce cas, on fera subir au déterminant la même transformation
qu’à la fin du no 74 ; on verra alors, comme à la fin de ce
numéro, qu’après cette transformation, les éléments de la première
ligne deviennent égaux à
et ceux de la colonne à
Seulement il importe d’observer ici que est nul, puisque