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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

qu’il advient des deux autres et, pour cela, je vais calculer dans leur développement le coefficient de $\mu .$

Je vais poser

$\alpha =\eta \mu ,\quad \mathrm {d'o{\grave {u}}} \quad \varepsilon =\eta {\sqrt {\mu }},$

je diviserai l’équation

$\mathrm {G} (\alpha ,\,\mu )=\mathrm {G} (\eta \mu ,\,\mu )=0$

par une puissance convenable de $\mu$ et je ferai ensuite $\mu =0,$ et j’aurai une équation qui me donnera les valeurs de $\eta .$

De ce que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend pas de $x_{n},$ nous pouvons conclure que les quantités que nous avons appelées $n_{i}$ et qui sont égales à $-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}$ ne dépendent pas non plus de $x_{n}$ ni par conséquent de $\beta _{n}.$

On aura donc $n_{i}=n_{i}^{0},$ non seulement comme au n^o 74, quand tous les $\beta$ seront nuls, mais alors même que $\beta _{n}$ ne serait pas nul, pourvu que les autres $\beta$ le soient.

Si donc nous supposons

$\beta _{1}=\beta _{2}=\ldots =\beta _{n-1}=0,\quad \beta _{n}\gtrless 0,$

nous aurons encore

${\frac {\Delta x_{k}}{\mu }}=\mathrm {T} {\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{k}}}\cdot$

Cela nous permet de différentier cette identité par rapport à $\beta _{n}$ et d’écrire

${\frac {d\Delta x_{k}}{\mu \,d\beta _{n}}}=\mathrm {T} \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{k}\,d\beta _{n}}}\cdot$

Calculons maintenant

${\frac {d\Delta y_{n}}{\mu \,d\varpi }}\quad \mathrm {et} \quad {\frac {d\Delta y_{n}}{\mu \,d\beta _{n}}}\cdot$

Il vient

$\Delta y_{n}=-\int _{0}^{\mathrm {T} }{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}\,dt$

où, puisque ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{n}}}=0,$ on aura pour $\mu =0,$

${\frac {\Delta y_{n}}{\mu }}=-\int _{0}^{\mathrm {T} }{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{n}}}\,dt=-\mathrm {T} \,{\frac {d\mathrm {R} }{d\beta _{n}}}\cdot$