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CHAPITRE IV.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Cette identité a lieu pourvu que

$\beta _{1}=\beta _{2}=\ldots =\beta _{n-1}=0.$

Nous pouvons donc la différentier par rapport à $\varpi _{k}$ ou à $\beta _{n},$ ce qui donne

(3)

${\begin{aligned}{\frac {d\Delta y_{n}}{\mu d\varpi _{k}}}&=-\mathrm {T} {\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\beta _{n}\,d\varpi _{k}}},&{\frac {d\Delta y_{n}}{\mu d\beta _{n}}}&=-\mathrm {T} {\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\beta _{n}^{2}}}\cdot \end{aligned}}$

En ce qui concerne les quantités

${\frac {d\Delta y_{n}}{\mu d\beta _{k}}},\quad {\frac {d\Delta y_{k}}{\mu d\beta _{n}}},$

il nous suffira d’observer qu’elles sont divisibles par $\mu .$

Nous avons encore à examiner les éléments de la première ligne de notre déterminant et ceux de la $(n+1)$^ième colonne.

Les éléments de la première ligne sont égaux à

${\begin{aligned}1+{\frac {d\Delta x_{1}}{d\beta _{1}}}-e^{\eta \mu \mathrm {T} },\quad {\frac {d\Delta x_{1}}{d\beta _{2}}},\quad &{\frac {d\Delta x_{1}}{d\beta _{3}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\Delta x_{1}}{d\beta _{n-1}}},\quad {\frac {d\Delta x_{1}}{d\beta _{n}}},\\&{\frac {d\Delta x_{1}}{d\varpi _{1}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\Delta x_{1}}{d\varpi _{n}}}\cdot \end{aligned}}$

Ils sont tous divisibles par $\mu ,$ mais je dis que les $n+1$ derniers éléments, c’est-à-dire

${\frac {d\Delta x_{1}}{d\beta _{n}}}\quad \mathrm {et} \quad {\frac {d\Delta x_{1}}{d\varpi _{k}}},$

sont divisibles par $\mu ^{2}.$ En effet, nous avons trouvé pour $\mu =0$

${\begin{aligned}{\frac {d\Delta x_{1}}{\mu \,d\beta _{n}}}&=\mathrm {T} \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{1}\,d\beta _{n}}},&{\frac {d\Delta x_{1}}{\mu \,d\varpi _{k}}}&=\mathrm {T} \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{1}\,d\varpi _{k}}}\cdot \end{aligned}}$

Or, en vertu de la définition de $\mathrm {R} ,$ on a

$n_{1}^{0}\,{\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{1}}}+n_{2}^{0}\,{\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{2}}}+\ldots +n_{n}^{0}\,{\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{n}}}=0,$

ou, à cause des relations (1) du n^o 75,

${\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{1}}}=0,$

d’où (en différentiant cette identité)

${\frac {d\Delta x_{1}}{\mu \,d\beta _{n}}}={\frac {d\Delta x_{1}}{\mu \,d\varpi _{k}}}=0$

pour $\mu =0.$C.Q.F.D.