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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
a par conséquent deux solutions particulières d’une forme dégénérescente.
Cela posé, supposons d’abord
alors
se réduit à
et ne dépend plus que de
Alors les équations (2) se réduisent à
(2′)
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Les coefficients de
dans la seconde équation (2′) sont des constantes.
Nous prendrons comme solutions des équations (2′)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{1}&=\xi _{2}=\xi _{3}=0,&\eta _{1}&=\eta _{1}^{0},&\eta _{2}&=\eta _{2}^{0},&\eta _{3}&=\eta _{3}^{0},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cade7f4034cd4f9a6bb9baa3c2d289f8fbc1c953)
étant trois constantes d’intégration.
Cette solution n’est pas la plus générale, puisqu’elle ne contient
que trois constantes arbitraires, mais c’est la plus générale parmi
celles que l’on peut ramener à la forme (3). Nous voyons ainsi que,
pour
les six exposants caractéristiques sont nuls.
Ne supposons plus maintenant que
soit nul. Nous allons
maintenant chercher à développer
et
non pas suivant les puissances croissantes de
mais suivant les puissances de
en écrivant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\alpha _{1}{\sqrt {\mu }}+\alpha _{2}\mu +\alpha _{3}\mu {\sqrt {\mu }}+\ldots ,\\\mathrm {S} _{i}&=\mathrm {S} _{i}^{0}+\mathrm {S} _{i}^{1}{\sqrt {\mu }}+\mathrm {S} _{i}^{2}\mu +\mathrm {S} _{i}^{3}\mu {\sqrt {\mu }}+\ldots ,\\\mathrm {T} _{i}&=\mathrm {T} _{i}^{0}+\mathrm {T} _{i}^{1}{\sqrt {\mu }}+\mathrm {T} _{i}^{2}\mu +\mathrm {T} _{i}^{3}\mu {\sqrt {\mu }}+\ldots .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88791141ce248d7d3a43324820c6d25288c575f3)
Je me propose d’abord d’établir que ce développement est possible.
Nous avons vu d’abord au no 74 que les exposants caractéristiques
peuvent se développer selon les puissances croissantes de
Démontrons maintenant que
et
peuvent aussi se développer
suivant les puissances de
et
nous sont donnés en effet par les équations suivantes :
(2″)
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