220
CHAPITRE IV.
Soit la valeur initiale de et celle
de les valeurs de et de
pour une valeur quelconque de pourront, d’après le no 27, se développer
suivant les puissances de de des et des
De plus, à cause de la forme linéaire des équations, ces valeurs
seront des fonctions linéaires et homogènes des et des
Soit, pour employer des notations analogues à celles du no 37,
la valeur de et celle de
pour La condition
pour que la solution soit périodique, c’est que l’on ait
Les et les sont des fonctions linéaires des
et des ces équations sont donc linéaires par rapport à ces quantités. En
général, ces équations n’admettent d’autre solution que
de sorte que les équations (2′′) n’ont d’autre solution périodique que
Mais nous savons que, si l’on choisit de façon à satisfaire à
les équations (2′′) admettent des solutions périodiques
autres que Par conséquent, le déterminant des
équations linéaires est nul. Nous pourrons donc tirer
de ces équations les rapports
et
sous la forme de séries développées suivant les puissances de et de
Comme reste arbitraire, nous conviendrons de prendre
de telle sorte que la valeur initiale de soit égale à 1.
Les et les sont alors développés suivant les puissances de
et de mais les et les sont, comme nous l’avons vu,
développantes suivant les puissances de de des et des
et, d’autre part, est développable suivant les puissances de
Donc les et les seront développantes suivant les puissances
de
C.Q.F.D.