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CHAPITRE IV.
Soit
la valeur initiale de
et
celle
de
les valeurs de
et de
pour une valeur quelconque de
pourront, d’après le no 27, se développer
suivant les puissances de
de
des
et des
De plus, à cause de la forme linéaire des équations, ces valeurs
seront des fonctions linéaires et homogènes des
et des ![{\displaystyle \beta '_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63c8446549020ca4dca1f896c8710b86de584b1b)
Soit, pour employer des notations analogues à celles du no 37,
la valeur de
et
celle de
pour
La condition
pour que la solution soit périodique, c’est que l’on ait
![{\displaystyle \psi _{i}=\psi '_{i}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e114511ee2666b789cd8f91ea5c3c8373f6c7f)
Les
et les
sont des fonctions linéaires des
et des
ces équations sont donc linéaires par rapport à ces quantités. En
général, ces équations n’admettent d’autre solution que
![{\displaystyle \beta _{i}=\beta '_{i}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b0473d0def6dc57481f34fa50fb5655441e24f)
de sorte que les équations (2′′) n’ont d’autre solution périodique que
![{\displaystyle \mathrm {S} _{i}=\mathrm {T} _{i}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d40e4b2ccb9b18627357c7c79482c5975ad7107)
Mais nous savons que, si l’on choisit
de façon à satisfaire à
les équations (2′′) admettent des solutions périodiques
autres que
Par conséquent, le déterminant des
équations linéaires
est nul. Nous pourrons donc tirer
de ces équations les rapports
![{\displaystyle {\frac {\beta _{i}}{\beta '_{1}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5590d7cfd5b5cc12e1c0ecfd9812022417bf7164)
et
![{\displaystyle \quad {\frac {\beta '_{i}}{\beta '_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46af5ab33ab25d4a195858c42f8154f8be2e090c)
sous la forme de séries développées suivant les puissances de
et de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Comme
reste arbitraire, nous conviendrons de prendre
de telle sorte que la valeur initiale de
soit égale à 1.
Les
et les
sont alors développés suivant les puissances de
et de
mais les
et les
sont, comme nous l’avons vu,
développantes suivant les puissances de
de
des
et des
et, d’autre part,
est développable suivant les puissances de
Donc les
et les
seront développantes suivant les puissances
de
C.Q.F.D.