Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/183

169

AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.

Reste l’équation (6) ; les termes du degré 0 nous donnent

$d\left(\mathrm {S} _{0.0}+\mathrm {S} _{0.1}+\mathrm {S} _{0.2}+\ldots \right)=0,$

en remarquant que, les $\eta _{i}^{0}$ étant des constantes, $d\eta _{i}^{0}$ est nul. Il suffit, pour satisfaire à cette équation, de supposer que les $\mathrm {S} _{0.q}$ sont des constantes.

Les termes de degré 1 nous donnent

$d\left(\mathrm {S} _{1.0}+\mathrm {S} _{1.1}+\mathrm {S} _{1.2}+\ldots \right)={\textstyle \sum }\,\xi _{i}^{0}\,d\eta _{i}^{1}-{\textstyle \sum }\,d\xi _{i}^{1.0}\,\eta _{i}^{0}.$

Il suffit, pour y satisfaire, de supposer

$\mathrm {S} _{1.q}={\textstyle \sum }\left(\xi _{i}^{0.1}\eta _{i}^{1.q-1}+\xi _{i}^{0.2}\eta _{i}^{1.q-2}+\ldots +\xi _{i}^{0.q}\eta _{i}^{1.0}\right)-{\textstyle \sum }\,\left(\xi _{i}^{1.0}\eta _{i}^{0.q}\right).$

Les termes de degré 0 et 1 n’engendreront donc pas de difficultés, ainsi qu’on aurait pu le craindre.

Problème du n^o 134.

161.La même méthode est évidemment applicable au problème du n^o 134. Reprenons les notations du n^o 151.

Reprenons les équations (1) à (6) du n^o 158, en convenant que les signes ${\textstyle \sum }$ porteront non seulement sur tous les $x_{i}$ (ou sur tous les $y_{i},$ ou sur tous les $w_{i},$ etc.), mais à la fois sur les $s_{i}$ et les $x_{i}'$ (ou sur les $y_{i}$ et les $y_{i}',$ ou sur les $w_{i}$ et les $w_{i}',$ etc.).

On verrait alors, comme au n^o 158, que les' équations (2) sont des conséquences des équations (1), (3), (4) et (6). Nous conserverons donc les équations (4), (6) et (1 bis) qui vont nous servir à la détermination de nos inconnues.

Nous allons, comme au n^o 158, remplacer dans ces diverses équations les $x_{i},$ les $y_{i},$ les $n_{i}$ et $\mathrm {S}$ par leurs développements suivant les puissances de $\mu$ et égaler ensuite dans les deux membres les coefficients des puissances semblables de $\mu .$

Mais les équations ainsi obtenues ne sont pas les seules dont j’aurai à faire usage : je me servirai également de celles que l’on en déduit en égalant dans les deux membres les valeurs moyennes prises par rapport aux $w_{k}$ seulement (et non par rapport aux $w_{k}'$)

Soit $\mathrm {U}$ une fonction quelconque périodique par rapport aux $w$