Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/242

228

CHAPITRE XVII.

---

CHAPITRE XVII.

CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

---

177.Il nous reste maintenant :

1^o À intégrer les équations (6 a), (6 b), (6 c), (5 a), (α) et (β) du n^o 169.

2^o À voir comment on pourra, dans la formation de ces équations, discerner les termes qui doivent passer dans le premier membre de ceux qui doivent rester dans le second.

Je m’occuperai d’abord de l’intégration des équations (6 a) et (6 b) et j’y consacrerai le présent Chapitre.

L’équation (6 b), qui est la plus générale, s’écrit

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho \left[(1+\alpha )-\mathrm {C} (1+\beta )\sin(\lambda v_{0}+k)\right]=\mathrm {B} '',$

$\mathrm {B} ''$ étant regardée comme une fonction connue de $v_{0}\,;$ c’est une équation linéaire à second membre, dont l’intégration se ramène à celle de l’équation sans second membre

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho \left[(1+\alpha )-\mathrm {C} (1+\beta )\sin(\lambda v_{0}+k)\right]=0.$

Si nous transformons cette équation en changeant les notations et en posant

${\begin{aligned}\rho &=x,&\lambda v_{0}+k&=2t+{\frac {\pi }{2}},\\{\frac {4}{\lambda ^{2}}}(1+\alpha )&=q^{2},&{\frac {4}{\lambda ^{2}}}\mathrm {C} (1+\beta )&=q_{1},\end{aligned}}$

elle devient

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=x\left(-q^{2}+q_{1}\cos 2t\right).$