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CHAPITRE XXI.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Cela posé, reprenons les équations (3) de la page 343. La première de ces équations n’est autre chose que l’équation (2) que nous venons de considérer.

La seconde nous apprend que

${\frac {d\mathrm {S_{1}} }{dy_{2}}},\quad {\frac {d\mathrm {S_{1}} }{dy_{3}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S_{1}} }{dy_{n}}},$

sont des constantes ; nous pouvons, sans restreindre la généralité, supposer que ces constantes sont nulles ; c’est là en effet reprendre les hypothèses (9) de la page 348.

Alors $\mathrm {S} _{1}$ n’est plus fonction que de $y_{1}$ et des $u,$ de sorte que

$\mathrm {S} _{1}=[\mathrm {S} _{1}].$

Considérons maintenant la troisième équation (3).

La fonction $\Phi$ qui figure au second membre n’est autre chose que $-\mathrm {F} _{1}.$

Le second terme du premier membre se rôdai t à

${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{{dx_{1}^{0}}^{2}}}\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2},$

parce que les autres ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}$ sont nuls.

Posons

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{{dx_{1}^{0}}^{2}}}=\mathrm {A} ,$

l’équation devient alors

(4)

$-{\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}}+\mathrm {A} \left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2}=\mathrm {C} _{2}-\mathrm {F} _{1}.$

Seulement il importe de remarquer qu’ici la fonction $\mathrm {F} _{1}$ n’est pas connue ; elle dépend en effet des $x,$ des $z,$ des $y$ et des $u,$ et l’on doit y remplacer les $x_{i}$ par les $x_{i}^{0}$ qui sont connus, et les $z_{i}$ par les

${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{du_{i}}}={\frac {d\mathrm {T} _{0}}{du_{i}}}$

qui ne le sont pas.

Prenons maintenant les valeurs moyennes des deux membres par rapport à $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}.$ D’abord les $\left[{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}}\right]$ se réduisent à des constantes, et je puis supposer, sans restreindre la généralité,