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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE
M. BOHLIN.
Pour la seconde série, nous aurons
(17 bis)
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et
étant des séries développées suivant les puissances
de
et dont les coefficients sont périodiques en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Si nous considérons maintenant ces quantités comme fonctions
de
le no 106 nous apprendra que les six fonctions
sont développables
suivant les puissances croissantes de
Si nous les considérons comme fonctions de µ, le no 104 nous
apprendra que chacun des termes des six fonctions
aura un coefficient
de la forme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {N} }{\Pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f63782b5c70117627f346f4fa3d0bb17b0e4919)
étant un polynôme développé suivant les puissances croissantes
de
et de
et
étant un produit de facteurs de la forme
![{\displaystyle m{\sqrt {-1}}+n\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50576cd0a0a51369bf31524bddd95ac4ff96892f)
et
étant des entiers positifs ou négatifs.
comme nous l’avons vu au no 108, peut être développé suivant
les puissances de
mais le développement est en général purement
formel parce que les exposants caractéristiques s’annulent
pour
Transformons maintenant les expressions (17) et (17 bis). Commençons
par remplacer partout
par
Résolvons ensuite l’équation
![{\displaystyle \operatorname {cot} {\frac {y}{4}}=\eta _{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d400c72cf57c12b801b576a20640c74af3bf6ed)
par rapport à
nous trouverons
![{\displaystyle \mathrm {C} e^{\beta x}=\zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f712832d979fd2c2f9c4bb246ae97f09530acc)
Si nous observons que, pour
se réduit à
nous
verrons que
peut se développer suivant les puissances de
et
de
et que ses coefficients sont périodiques en
Substituons
à la place de
dans
et
alors
et